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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo - Ex.

Uma lata homogênea tem uma massa de 0,140   k g , uma altura de 12,0   c m e contém 1 , 3 1   k g de refrigerante (Fig. 9-41). Pequenos furos são feitos na base e na tampa (com perda de massa desprezível) para drenar o liquido. Qual é a altura h   do centro de massa da lara e seu conteúdo (a) inicialmente e (b) após a lata perder todo o refrigerante? (c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado? (d) Se x é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de x no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.

Passo 1

Para calcular a coordenada x do centro de massa podemos usar a seguinte relação:

x c m = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

Como a lata é corpo homogêneo, então o seu centro de massa está localizado no próprio centro geométrico, que se situa a uma distância H / 2 acima da base. O centro de massa do refrigerante também está localizado em seu centro geométrico, devido a simetria, que está situado x / 2 acima da base da lata.

Passo 2

É importante perceber que quando a lata está cheia, os dois centro geométricos são coincidentes e, portanto, x 2 = H 2 . Portanto, usando a relação dada no passo anterior para determinar a posição do centro de massa inicialmente, temos:

x c m = M × H 2 + m × H 2 M + m

Assim:

x c m = H 2 = 12 2 = 6   c m

Passo 3

Para o caso da lata estar vazia, então a massa do refrigerante é nula e, portanto, o centro de massa está no próprio centro geométrico do cilindro:

x c m = H 2 = 12 2 = 6   c m

Passo 4

Inicialmente, quando existir uma massa siginificativa de líquido dentro da lata enquanto x diminuir, o x c m também diminuirá, porém, depois, esta massa passa a não ser tão significativa até desaparecer, a partir desse instante a posição do centro de massa passa a aumentar até atingir x c m = 6   c m .

Passo 5

Devemos perceber que temos o valor da massa do refrigerante quando a lata está cheia, porém, para continuar resolvendo esta questão, devemos fazer uma relação para determinar a massa no decorrer do deslocamento do líquido. Para isso:

m r = m 0 x H

Portanto, aplicando novamente a relação para calculcar a coordenada do centro de massa:

x c m = M H 2 + m r x 2 M + m r

Substituindo o valor da massa em função do deslocamento:

x c m = M H 2 + m 0 x H x 2 M + m 0 x H

x c m = M H 2 + m 0 x 2 2 H M + 2 m 0 x

Por fim, para determinar o valor que o x c m atinge o ponto mais baixo, vamos derivar a função acima em relação a x e igualar a zero:

d x c m d x = 2 m x 2 H M + 2 m x - 2 m M H 2 + m x 2 2 H M + 2 m x 2

= 4 M m H x + 4 m 2 x 2 - 2 M m H 2 - 2 m 2 x 2 2 ( H M + m x ) 2

= 4 M m H x + 2 m 2 x 2 - 2 M m H 2 4 H M + m x 2

= 2 ( 2 M m H x + m 2 x 2 - M m H 2 ) 4 H M + m x 2

= m 2 x 2 + 2 M m H x - M m H 2 2 M H + m x 2 = 0

Assim:

m 2 x 2 + 2 M m H x - M m H 2 = 0

Substituindo os valores:

1 , 3 1 2 x 2 + 2 × 0,14 × 1 , 3 1 × 12 × x - 0,14 × 1 , 3 1 × 12 2 = 0

1 , 7 1 61 x 2 + 4,4016 x - 26,4096 = 0

Resolvendo esta equação do segundo e pegando a raíz positiva, temos:

x ≅ 2,8448   c m

Resposta

  1. x c m = 6   c m ;
  2. x c m = 6   c m ;
  3. d i m i n u i r á ,   d e p o i s   a u m e n t a r á   a t é   H / 2 ;
  4. x = 2,8448   c m .
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