A lente mostrada na FIGURA PD24.52 é chamada de dubleto acromático, o que significa que não produz aberração cromática. O lado esquerdo é plano, e todas as outras superfícies têm raios de curvatura R.

a. Para raios luminosos paralelos provenientes da esquerda, demonstre que a distância focal efetiva deste sistema de duas lentes é f = R 2 n 2 - n 1 - 1 ,onde n 1 e n 2 são, respectivamente, os índices de refração PD24.52 da lente divergente e da convergente. Não se esqueça de usar a aproximação de lentes delgadas.

b. Devido à dispersão, em separado, cada lente focalizaria os raios vermelhos e os azuis em pontos diferentes. Defina Δ n 1 e Δ n 2 como n s i n a l - n v e r m e l h o para as duas lentes. Obtenha urna expressão para Δ n 2 em função de Δ n que torne f s i n a l = f v e r m e l h o para o sistema de duas lentes, ou seja, o sistema equivalente de duas lentes não apresenta aberração cromática.

c. A tabela mostra índices de refração de dois tipos de vidro. Para fazer um dubleto acromático, qual vidro você deveria usar para a lente convergente e qual para a lente divergente? Explique suas escolhas.

d. Que valor de R resulta em uma distância focal de 10,0 cm?

Passo 1

Fala pessoal, tudo belezinha? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Para a letra a nós temos que encontrar as lentes focais efetivas destas duas lentes, com isso, nós temos:

n 1 s + n 2 s ' = n 2 - n 1 R

Vamos considerar S como um objeto bem distante nesse caso, então nós temos a seguinte situação:

n 1 ∞ + n 2 s ' = n 2 - n 1 R

Com isso, temos que s’ é igual a:

s ' = R n 2 n 2 - n 1

Fazendo algumas manipulações, nós temos:

n 2 R n 2 n 2 - n 1 + n a r - f = n a r - n 2 R

Logo, podemos encontrar o valor de f, para isso vamos fazer um processo intermediário:

n 2 - n 1 R + 1 - f = 1 - n 2 R

Com isso, f é igual a:

f = R 2 n 2 - n 1 - 1

Com isso, nós temos a resposta da letra a 😊

Passo 2

Para a letra b, nós temos que encontrar qual valor da taxa Δ n 1 Δ n 2 que faz f a z u l = f v e r m e l h o . Primeiro ponto é entender as duas frequências, para isso, nós temos:

f a z u l = R 2 n 2 a z u l - n 1 a z u l - 1

E no caso do vermelho, temos:

f v e r m e l h o = R 2 n 2 v e r m e l h o - n 1 v e r m e l h o - 1

Agora é igualar as duas equações, de modo a f a z u l = f v e r m e l h o . Logo:

R 2 n 2 a z u l - n 1 a z u l - 1 = R 2 n 2 v e r m e l h o - n 1 v e r m e l h o - 1

Desenvolvendo a equação, nós temos:

2 n 2 a z u l - n 1 a z u l - 1 = 2 n 2 v e r m e l h o - n 1 v e r m e l h o   - 1

Ainda desenvolvendo (realmente, é meio longo):

2 n 2 a z u l - n 2 v e r m e l h o = n 1 a z u l - n 1 v e r m e l h o

Com isso, nós temos:

Δ n 2 = 1 2 Δ n 1

Passo 3

Para a letra c nós temos que encontrar Δ n para cada tipo de vidro, com isso nós temos:

Δ n c r o w n = 1 , 525 - 1 , 517 = 0,008

E o vidro Flint:

Δ n f l i n t = 1 , 632 - 1,616 = 0,016

Passo 4

Para a letra d) nós temos para encontrar o comprimento focal na expressão em R, os valores dados são n 1 = 1,632   ,     n 2 = 1,525   e   f = 10   c m

R = f 2 n 2 - n 1 - 1

Substituindo os valores, nós temos:

R = ( 10,0   c m ) ( 2 1,525 - 1,632 - 1 ) ) = 4,18   c m

Resposta

a )   f = R 2 n 2 - n 1 - 1

b )   Δ n 2 = 1 2 Δ n 1

c )   Δ n c r o w n = 0,008   e   Δ n f l i n t = 0,016

d )   R = 4,18   c m

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