Enunciado

No mecanismo indicado o ponto O é fio e os discos rolam, um sobre o outro, sem escorregar. Dados ω 1 ,   ω 2 e suas derivadas, pedem-se:

Ω (velocidade angular da barra).

V a e A a .

A distancia x, do ponto K, de contato dos discos, ao C I R do disco de centro A.

Passo 1

Questões como essas dependem do nosso entendimento em outras áreas da física, não somente na mecânica dos sólidos.

Aqui, por exemplo, precisamos relembrar um pouco sobre escorregamento e as consequências que uma rotação pode gerar para o objeto.

Vamos, primeiramente, relembrar como podemos encontrar a velocidade angular da barra. Como sabemos, a velocidade é encontrada pela divisão da distância percorrida pelo tempo que levou-se para percorrer esta distância.

Assim, lembrando também que a distância da barra é o comprimento do centro de um disco ao centro do outro (R+ r), teremos a seguinte fórmula:

v A = R + r * Ω τ

Chegamos nessa equação com o pensamento de A sendo um ponto na barra, certo? Se pararmos pra pensar, consideramos o comprimento da barra, a velocidade de rotação sofrida pela barra e a constante de tempo da barra.

Passo 2

Agora, vamos pensar em A sendo um ponto do disco. Ele está inserido também no centro de um disco de raio R e r, velocidade ω1 e ω2 e tendo, como constante de tempo, τ . Como são dois movimentos que se complementam, tanto em r quanto em R, logo, temos que a velocidade do ponto A do disco será:

v A = R * ω 1 τ + r * ω 2 τ = R * ω 1 + r * ω 2 τ .

Passo 3

Agora que encontramos as duas equações para a velocidade em a, vamos igualá-las, já que ambas representam o mesmo valor. Teremos:

R * ω 1 + r * ω 2 τ = R + r * Ω τ

Como buscamos encontrar o valor da velocidade angular da barra, temos:

R * ω 1 + r * ω 2 τ ( R + r ) τ = Ω

Simplificando, temos:

R * ω 1 + r * ω 2 ( R + r ) = Ω

Pronto! Concluímos a letra a, encontrando a equação para a velocidade angular da barra, Ω .

Passo 4

Vamos agora realizar a letra b. Em a, nós já encontramos a velocidade da barra em A, como sendo:

v A = R * ω 1 τ + r * ω 2 τ = R * ω 1 + r * ω 2 τ .

Agora, para encontrar a aceleração, iremos derivar esta equação. Utilizando nossos conhecimentos sobre derivada (em específico, sobre regra do produto e do quociente), nós obteremos a seguinte equação:

a A = R * ω 1 τ + r * ω 2 τ - R * ω 1 + r * ω 2 ² R + r u

Pronto, encontramos a aceleração a partir da derivada da equação da velocidade!!

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância x de K ao centro de rotação do disco de centro A. Nós temos, se prestarmos atenção no desenho, uma semelhança de triângulos clara para o que precisamos resolver.

A distância de C a A é semelhante à distância de C a K, sendo que ambas as distâncias estão contidas no cateto do retângulo em questão.

Além disso, como vimos nos itens a e b e está explícito para nós na figura, temos que a distância de C a A pode ser expressa por

D C A = R * ω 1 + r * ω 2

E a distância de C a K pode ser expressa por

D C K = R * ω 1

Pensando assim, podemos produzir a seguinte equação:

D C A D C K = R * ω 1 + r * ω 2 R * ω 1

Se olharmos na figura com as semelhanças de triângulo, podemos entender geograficamente, que:

D C A D C K = R * ω 1 + r * ω 2 R * ω 1 = x + r x

Passo 6

Agora, conseguimos encontrar o desejado x, reorganizando a equação encontrada no Passo 5:

D C A D C K = R * ω 1 + r * ω 2 R * ω 1 = x + r x

Como X= D C K , teremos que:

x = R * ω 1 ω 2

Pronto, finalizamos aqui o exercício.

Resposta

Teremos, em resumo:

R * ω 1 + r * ω 2 ( R + r ) = Ω

R * ω 1 τ + r * ω 2 τ - R * ω 1 + r * ω 2 ² R + r u

x = R * ω 1 ω 2

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