Enunciado
Física - Luis França - Mecânica Geral- Ed: 2º - Capítulo 6.Exemplo - Ex. 3
No mecanismo indicado o ponto O é fio e os discos rolam, um sobre o outro, sem escorregar. Dados e suas derivadas, pedem-se:
(velocidade angular da barra).
e .
A distancia x, do ponto K, de contato dos discos, ao do disco de centro A.
Passo 1
Questões como essas dependem do nosso entendimento em outras áreas da física, não somente na mecânica dos sólidos.
Aqui, por exemplo, precisamos relembrar um pouco sobre escorregamento e as consequências que uma rotação pode gerar para o objeto.
Vamos, primeiramente, relembrar como podemos encontrar a velocidade angular da barra. Como sabemos, a velocidade é encontrada pela divisão da distância percorrida pelo tempo que levou-se para percorrer esta distância.
Assim, lembrando também que a distância da barra é o comprimento do centro de um disco ao centro do outro (R+ r), teremos a seguinte fórmula:
Chegamos nessa equação com o pensamento de A sendo um ponto na barra, certo? Se pararmos pra pensar, consideramos o comprimento da barra, a velocidade de rotação sofrida pela barra e a constante de tempo da barra.
Passo 2
Agora, vamos pensar em A sendo um ponto do disco. Ele está inserido também no centro de um disco de raio R e r, velocidade ω1 e ω2 e tendo, como constante de tempo, Como são dois movimentos que se complementam, tanto em r quanto em R, logo, temos que a velocidade do ponto A do disco será:
Passo 3
Agora que encontramos as duas equações para a velocidade em a, vamos igualá-las, já que ambas representam o mesmo valor. Teremos:
Como buscamos encontrar o valor da velocidade angular da barra, temos:
Simplificando, temos:
Pronto! Concluímos a letra a, encontrando a equação para a velocidade angular da barra,
Passo 4
Vamos agora realizar a letra b. Em a, nós já encontramos a velocidade da barra em A, como sendo:
Agora, para encontrar a aceleração, iremos derivar esta equação. Utilizando nossos conhecimentos sobre derivada (em específico, sobre regra do produto e do quociente), nós obteremos a seguinte equação:
Pronto, encontramos a aceleração a partir da derivada da equação da velocidade!!
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distância x de K ao centro de rotação do disco de centro A. Nós temos, se prestarmos atenção no desenho, uma semelhança de triângulos clara para o que precisamos resolver.
A distância de C a A é semelhante à distância de C a K, sendo que ambas as distâncias estão contidas no cateto do retângulo em questão.
Além disso, como vimos nos itens a e b e está explícito para nós na figura, temos que a distância de C a A pode ser expressa por
E a distância de C a K pode ser expressa por
Pensando assim, podemos produzir a seguinte equação:
Se olharmos na figura com as semelhanças de triângulo, podemos entender geograficamente, que:
Passo 6
Agora, conseguimos encontrar o desejado x, reorganizando a equação encontrada no Passo 5:
Como X=, teremos que:
Pronto, finalizamos aqui o exercício.
Resposta
Teremos, em resumo: