Enunciado
Física - Luis França - Mecânica Geral- Ed: 2º - Capítulo 8.Exemplo - Ex. 6
Um trator de lâmina equilibra um tronco cilíndrico, homogêneo, de peso P, ao longo de uma rampa inclinada de ângulo com a horizontal, conforme figura.
Supondo iguais a , os coeficientes de atrito nos dois contatos, pede-se:
a) Escrever as relações necessárias para o equilíbrio do bloco.
b) Para que valores de α o cilindro estará na iminência de rolar para cima, sem escorregar sobre a rampa?
Passo 1
Em questões em que há o envolvimento de forças e sistemas com complexidade ou não, devemos pensar passo a passo em cada componente de forças atuantes. No caso deste sistema de trator que equilibra um tronco cilíndrico sobre uma superfície, temos que, atuando sobre ele, há as forças e os momentos no eixo x e no eixo y. Como temos uma rampa inclinada, é importante lembrarmos que as componentes de x e y para cada força estarão sempre presentes. Pela segunda Lei de Newton, sabemos que a somatória de todas as forças e momentos em cada eixo deve ser igual à massa multiplicada pela aceleração. A partir desta lei, entende-se que, quando não há movimento no eixo, ou seja, quando o sistema está em equilíbrio, a aceleração é nula e, consequentemente, a somatória das forças no eixo é igual à zero.
Para resolvermos a letra a, vamos calcular as somatórias das forças em x e y, e o momento presente em G, no centro do cilindro. Teremos:
Como , teremos:
Passo 2
Em y, teremos:
Como , teremos:
Passo 3
Vamos agora calcular a somatória do momento atuante em G. Como não há movimento, temos:
A partir disso, podemos perceber que todas as forças de atrito estarão equilibrando o momento admito em G. Por isso, teremos que
Lembrando-se da fórmula geral para o atrito e supondo os sentidos de positivos em relação ao adotado, teremos que
e
.
Passo 4
Para resolver a b, temos que levar em consideração que haverá tendência de deslocamento e por isso, os coeficientes se alternarão de estático para dinâmico, de forma que a força de atrito deve ser maior ou igual à força de movimento. Logo, serão dadas de acordo com:
,
já que, como o movimento tenderia a escorregar em L, temos que obedecer a esta igualdade para que o equilíbrio seja mantido.
Substituindo os valores encontrados nos passos 1 e 2 para , teremos:
E, para
Assim, encontramos o ângulo, substituindo na equação encontrada no Passo 3:
Logo,
Passo 5
Agora, pensando na letra c, temos que entender o que é pedido. O enunciado diz que ocorrerá uma iminência de escorregar para cima, ou seja, sem escorregar na lâmina. Assim, utilizamos do pressuposto do passo 3, de que:
Substituindo as equações encontradas nos Passos 1 e 2, teremos:
E
Simplificando pelo Passo 3:
Logo,
Resposta
A partir da realização dos cálculos, podemos concluir que para , o tronco poderia escorregar para cima ou para baixo, em qualquer um dos contatos após a saída do equilíbrio. Para , o cilindro rolaria para cima, sem escorregar na rampa.
Para , o cilindro estará na iminência de escorregar para cima, sobre a rampa.