Enunciado

Um trator de lâmina equilibra um tronco cilíndrico, homogêneo, de peso P, ao longo de uma rampa inclinada de ângulo α com a horizontal, conforme figura.

Supondo iguais a μ ( < 1 ) , os coeficientes de atrito nos dois contatos, pede-se:

a) Escrever as relações necessárias para o equilíbrio do bloco.

b) Para que valores de α o cilindro estará na iminência de rolar para cima, sem escorregar sobre a rampa?

Passo 1

Em questões em que há o envolvimento de forças e sistemas com complexidade ou não, devemos pensar passo a passo em cada componente de forças atuantes. No caso deste sistema de trator que equilibra um tronco cilíndrico sobre uma superfície, temos que, atuando sobre ele, há as forças e os momentos no eixo x e no eixo y. Como temos uma rampa inclinada, é importante lembrarmos que as componentes de x e y para cada força estarão sempre presentes. Pela segunda Lei de Newton, sabemos que a somatória de todas as forças e momentos em cada eixo deve ser igual à massa multiplicada pela aceleração. A partir desta lei, entende-se que, quando não há movimento no eixo, ou seja, quando o sistema está em equilíbrio, a aceleração é nula e, consequentemente, a somatória das forças no eixo é igual à zero.

Para resolvermos a letra a, vamos calcular as somatórias das forças em x e y, e o momento presente em G, no centro do cilindro. Teremos:

∑ F x = 0

∑ F x = - N L + P x + T E

Como P x = P * s e n ( α ) , teremos:

- N L + P * s e n α + T E = 0

Passo 2

Em y, teremos:

∑ F y = 0

∑ F y = - N E + P y + T L

Como P x = P * c o s ( α ) , teremos:

- N E + P * c o s α + T L = 0

Passo 3

Vamos agora calcular a somatória do momento atuante em G. Como não há movimento, temos:

∑ M G = 0

A partir disso, podemos perceber que todas as forças de atrito estarão equilibrando o momento admito em G. Por isso, teremos que

T L = T E = T

Lembrando-se da fórmula geral para o atrito e supondo os sentidos de T L e   T E positivos em relação ao adotado, teremos que

0 ≤ T   ≤ μ * N L e

0 ≤ T   ≤ μ * N E .

Passo 4

Para resolver a b, temos que levar em consideração que haverá tendência de deslocamento e por isso, os coeficientes se alternarão de estático para dinâmico, de forma que a força de atrito deve ser maior ou igual à força de movimento. Logo, serão dadas de acordo com:

T E = T   ≤ μ * N E

T L = T = μ * N L ,

já que, como o movimento tenderia a escorregar em L, temos que obedecer a esta igualdade para que o equilíbrio seja mantido.

Substituindo os valores encontrados nos passos 1 e 2 para N E   e   N L , teremos:

P * s e n α + T E = N L

N L = P * s e n α ( 1 - μ )

E, para N E :

P * c o s α + T L = N E

N E = P * c o s α + μ * P * s e n α ( 1 - μ )

Assim, encontramos o ângulo, substituindo na equação encontrada no Passo 3:

t g α ≤ 1

Logo,

α ≤ 45 °

Passo 5

Agora, pensando na letra c, temos que entender o que é pedido. O enunciado diz que ocorrerá uma iminência de escorregar para cima, ou seja, sem escorregar na lâmina. Assim, utilizamos do pressuposto do passo 3, de que:

T E = T = μ * N E

Substituindo as equações encontradas nos Passos 1 e 2, teremos:

N E = P * c o s α ( 1 - μ )

E N E = P * s e n α + μ * P * c o s α ( 1 - μ )

Simplificando pelo Passo 3:

t g α ≥ 1

Logo,

α ≥ 45 °

Resposta

A partir da realização dos cálculos, podemos concluir que para α = 45 ° , o tronco poderia escorregar para cima ou para baixo, em qualquer um dos contatos após a saída do equilíbrio. Para α ≤ 45 ° , o cilindro rolaria para cima, sem escorregar na rampa.

Para α ≥ 45 ° , o cilindro estará na iminência de escorregar para cima, sobre a rampa.

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