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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 6.Questões - Ex. 18

Mostre com argumentos qualitativos que um poço de potencial quadrado finito unidimensional sempre tem um autovalor ligado, não importando quão rasa seja a região de ligação.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Como foi discutido no livro, a solução na região dentro do poço é dada por

ψ x = A cos ⁡ k 1 x + B   s e n k 1 x

Já para x > a / 2 :

ψ x = C e - k x

E para x < - a / 2 :

ψ x = D e k x

Temos também que

k 1 = 2 m E ℏ               e             k = 2 m V 0 - E ℏ

Usando que ψ x e d ψ / d x devem ser contínuas em x = - a / 2 :

D e - k a 2 = A cos ⁡ k 1 a 2 - B   s e n k 1 a 2

k D e - k a 2 = k 1 A   s e n k 1 a 2 + k 1 B cos ⁡ k 1 a 2

Da mesma forma, em x = a / 2 :

C e - k a 2 = A cos ⁡ k 1 a 2 + B   s e n k 1 a 2

- k C e - k a 2 = - k 1 A   s e n k 1 a 2 + k 1 B cos ⁡ k 1 a 2

São quatro equações e cinco incógnitas: não se esqueça que k 1 e k dependem da energia E . Portanto, as incógnitas são as constantes A , B , C e D , além da energia E .

Passo 2

Se a gente considerar um potencial bem raso, devemos ter tanto V 0 como E bem pequenos. Com isso, tanto k como k 1 serão pequenos, de modo que é possível usar a aproximação de ângulos pequenos:

e x ≈ 1 + x ,             x ≪ 1

cos ⁡ x ≈ 1 ,           x ≪ 1

s e n   x ≈ x ,           x ≪ 1

Fazendo isso, as equações ficam:

D - D k a 2 = A - B k 1 a 2

k D - D k 2 a 2 = A k 1 2 a 2 + B k 1

C - C k a 2 = A + B k 1 a 2

- k C + C k 2 a 2 = - A k 1 2 a 2 + B k 1

Podemos ir além e desprezar termos da ordem de k 2 e k 1 2 , de modo que

D - D k a 2 = A - B k 1 a 2                                   k D = k 1 B

C - C k a 2 = A + B k 1 a 2                           - k C = k 1 B

É fácil perceber que esse sistema tem ao menos uma solução para k 1 e k , de modo que achamos um valor para a energia E .

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro