Enunciado

Mostre que a autofunção do potencial degrau, para E < V 0 , pode ser convertida da forma de soma de duas ondas se propagando, como em (6-24), para uma onda estacionária, como em (6-29)

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Na equação 6-24 foi obtida a função de onda do potencial degrau. Considerando apenas a região oscilatória ( x < 0 ), temos

ψ x = D 2 1 + i k 2 k 1 e i k 1 x + D 2 1 - i k 2 k 1 e - i k 1 x

Essa solução corresponde a duas ondas se propagando em sentidos opostos. Para convertê-la em uma onda estacionária, vamos usar as relações:

e i k 1 x = cos ⁡ k 1 x + i   s e n k 1 x

e - i k 1 x = cos ⁡ k 1 x - i   s e n k 1 x

Passo 2

Com isso, teremos

ψ x = D 2 cos ⁡ k 1 x + i k 2 k 1 ⋅ i   s e n k 1 x + cos ⁡ k 1 x - i k 2 k 1 - i   s e n k 1 x

Ou ainda,

ψ x = D cos ⁡ k 1 x - D k 2 k 1   s e n k 1 x

Essa é exatamente a expressão dada na equação 6-29 que representa a onda estacionária!

Resposta

Demonstração.

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