a) Mostre que quando a energia cinética de recuo do átomo, p 2 / 2 M , é levada em conta, a frequência de um fóton emitido em uma transição entre dois níveis atômicos cuja diferença de energia é Δ E fica reduzida a aproximadamente 1 - Δ E / 2 M c 2 .

b) Compare o comprimento de onda luz emitida por um átomo de hidrogênio na transição dos estados 3 → 1 , quando se leva em conta o recuo no cálculo do comprimento de onda, e quando não se leva em conta esse recuo.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Se não levarmos em conta o recuo do átomo, a diferença de energia Δ E será igual a energia h ν 0 do fóton emitido:

Δ E = h ν 0

Por outro lado, se considerarmos o recuo, a energia Δ E é distribuída para o fóton e para o recuo do átomo:

K r e c u o + h ν = Δ E

Como K r e c u o = p 2 / 2 M , temos

p 2 2 M + h ν = Δ E → p 2 2 M c + h ν c = Δ E c

Como o momento deve ser conservado, temos

0 → = p → a t o m o + p → f o t o n → p → a t o m o = - p → f o t o n

Em módulo, essa relação é escrita como

p a t o m o = p f o t o n = h λ = h ν c = p

Portanto,

p 2 2 M c + p = Δ E c

Ou ainda,

p 2 + 2 M c   p - 2 M   Δ E = 0

Passo 2

Vamos resolver a equação quadrática na variável p :

p = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 M c ± 4 M 2 c 2 + 4 ⋅ 2 M Δ E 2

Assim, como p > 0 , apenas o sinal de + vai trazer uma solução válida:

p = - M c + M M c 2 + 2 Δ E = - M c + M c 1 + 2 Δ E M c 2

Para simplificar a raiz, vamos fazer a expansão em Taylor da função f x = 1 + x em torno de x 0 = 0 :

1 + x ≈ 1 + x 2 - x 2 8 ,           x ≪ 1

Assim, considerando M c 2 ≫ Δ E (a energia de repouso do átomo é muito maior que as energias de transição):

1 + 2 Δ E M c 2 ≈ 1 + 1 2 ⋅ 2 Δ E M c 2 - 1 8 ⋅ 2 Δ E M c 2 2 = 1 + Δ E M c 2 - 1 2 Δ E M c 2 2

Logo,

p = - M c + M c + M c Δ E M c 2 - 1 2 Δ E M c 2 2 = M c ⋅ Δ E M c 2 1 - Δ E 2 M c 2

Portanto,

p = Δ E c 1 - Δ E 2 M c 2

Como p = h ν / c e Δ E = h ν 0

h ν c = h ν 0 c 1 - Δ E 2 M c 2

Portanto,

ν = ν 0 1 - Δ E 2 M c 2

Isso demonstra o que foi pedido: quando consideramos o recuo aparece a correção 1 - Δ E / 2 M c 2 na frequência.

Passo 3

Vamos calcular a energia da transição 3 → 1 :

Δ E = E 3 - E 1 = - 13,6 9   e V + 13,6 1   e V = 12,088888889   e V

Assim, a frequência ν 0 é

ν 0 = Δ E h = 12,08888889   e V 4,135667696 ⋅ 10 - 15   e V   s = 2,9230803 ⋅ 10 15   H z

Considerando M c 2 = 939 ⋅ 10 6   e V :

1 - Δ E 2 M c 2 = 1 - 12,1 2 ⋅ 939 ⋅ 10 6 = 0,99999999355 ≈ 1

Assim, dentro da precisão que temos

ν = ν 0

Isso significa que λ = λ 0 . Resumindo: o recuo praticamente não afeta as propriedades do fóton!

Resposta

Demonstração.

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