a) Mostre que quando a energia cinética de recuo do átomo, , é levada em conta, a frequência de um fóton emitido em uma transição entre dois níveis atômicos cuja diferença de energia é fica reduzida a aproximadamente .
b) Compare o comprimento de onda luz emitida por um átomo de hidrogênio na transição dos estados , quando se leva em conta o recuo no cálculo do comprimento de onda, e quando não se leva em conta esse recuo.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Se não levarmos em conta o recuo do átomo, a diferença de energia será igual a energia do fóton emitido:
Por outro lado, se considerarmos o recuo, a energia é distribuída para o fóton e para o recuo do átomo:
Como , temos
Como o momento deve ser conservado, temos
Em módulo, essa relação é escrita como
Portanto,
Ou ainda,
Passo 2
Vamos resolver a equação quadrática na variável :
Assim, como , apenas o sinal de vai trazer uma solução válida:
Para simplificar a raiz, vamos fazer a expansão em Taylor da função em torno de :
Assim, considerando (a energia de repouso do átomo é muito maior que as energias de transição):
Logo,
Portanto,
Como e
Portanto,
Isso demonstra o que foi pedido: quando consideramos o recuo aparece a correção na frequência.
Passo 3
Vamos calcular a energia da transição :
Assim, a frequência é
Considerando :
Assim, dentro da precisão que temos
Isso significa que . Resumindo: o recuo praticamente não afeta as propriedades do fóton!
Resposta
Demonstração.