Mostre que, para um átomo de Thomson, um elétron que se move em uma órbita circular estável gira com a mesma frequência que teria caso oscilasse ao longo de um diâmetro em torno do centro.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeiro você lembrar que o átomo de Thomson consiste em uma distribuição uniforme de carga positiva (que podemos supor esférica e com um raio a ) e um elétron orbitando o centro da esfera (com um raio r < a ):

A carga do elétron é - q e a carga total da esfera positiva de raio a é + q , de modo que a carga total é nula. Para encontrar o campo elétrico sobre o elétron, consideramos a lei de Gauss:

∯ E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

Vamos considerar a esfera de raio r como superfície gaussiana, já que é nela que o elétron vai estar:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ϵ 0

Passo 2

Qual é a carga q i n t dentro dessa esfera de raio r ? O truque é considerar que na esfera toda de volume 4 π a 3 / 3 temos uma carga + q , de modo que dentro da esfera de raio r com volume 4 π r 3 / 3 devemos ter a carga q i n t :

q i n t 4 π r 3 3 = q 4 π a 3 3 → q i n t = q r 3 a 3

Portanto,

E ⋅ 4 π r 2 = q r 3 ϵ 0 a 3 → E = 1 4 π ϵ 0 ⋅ q r a 3

Desta forma, a força centrípeta que atua sobre o elétron é

F = - q E = - 1 4 π ϵ 0 ⋅ q 2 r a 3

O sinal de menos indica que a força aponta para dentro, como deve ser para uma força centrípeta. Assim, temos

1 4 π ϵ 0 ⋅ q 2 r a 3 = m ω 2 r → ω 2 = q 2 4 π ϵ 0 m a 3

Isso nos dá a frequência angular de rotação do elétron.

Passo 3

Agora vamos considerar a situação em que o elétron oscila harmonicamente em torno do núcleo. Observe que a força pode ser escrita na forma da lei de Hooke:

F = - k r ,             k = q 2 4 π ϵ 0 a 3

Você deve saber que para forças desse tipo, o movimento é harmônico com frequência angular dada por

ω 2 = k m = q 2 4 π ϵ 0 m a 3

Note que ela coincide com o resultado do passo 2. Isso prova o que o enunciado pediu: os dois movimentos têm a mesma frequência!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro