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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 36

Mostre que a Equação 12.29 é a solução da Equação 12.28 desde que b 2 , 4mk.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Para mostrar que x = A e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ é solução de - k x - b d x d t = m d 2 x d t 2 :

Onde ω = k m - b 2 m 2 e b 2 < 4 m k para que ω seja real, pegamos x = A e - b t / 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) e calculamos:

d x d t = A e - b t 2 m - b 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) - A e - b t 2 m ω s i n ⁡ ( ω t + ϕ ) d 2 x d t 2 = - b 2 m A e - b t 2 m - b 2 m cos ⁡ ω t + ϕ - A e - b t 2 m ω sin ⁡ ω t + ϕ - A e - b t 2 m - b 2 m ω sin ⁡ ω t + ϕ + A e - b t 2 m ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ

Passo 2

Daí substituímos x = A e - b t / 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) e d x d t = A e - b t 2 m - b 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) - A e - b t 2 m ω s i n ⁡ ( ω t + ϕ ) na primeira equação e:

- k A e - b t 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) + b 2 2 m A e - b t 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) + b ω A e - b t 2 m s i n ⁡ ( ω t + ϕ )

= - b 2 A e - b t 2 m - b 2 m cos ⁡ ω t + ϕ - A e - b t 2 m ω sin ⁡ ω t + ϕ + b 2 A e - b t 2 m ω s i n ⁡ ( ω t + ϕ ) - m ω 2 A e - b t 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Então, comparamos A e - b t / 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) e A e - b t / 2 m s i n ⁡ ( ω t + ϕ ) :

Termo cosseno:

- k + b 2 2 m = - b 2 - b 2 m - m ω 2 = b 2 4 m - m k m - b 2 4 m 2 = - k + b 2 2 m

Termo seno:

b ω = + b 2 ω + b 2 ω = b ω

Como os coeficientes são iguais, x = A e - b t / 2 m c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) é uma solução para a equação.

Resposta

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