Mostre que a frequência de revolução de um elétron no modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio é dada por por ν = 2 E / h n , onde E é a energia total do elétron.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Na seção 4-6 do livro, foi discutido como deduzir a expressão para a energia no átomo de Bohr. No meio dessas contas, foi constatado que a energia potencial elétrica era negativa e em módulo o dobro da energia cinética:

V = - 2 K

Assim, a energia total E era

E = K + V = K - 2 K = - K

Portanto,

E = - m v 2 2

Assim, tomando o módulo, temos

m v 2 2 = m v ⋅ v 2 = E

Passo 2

Já a quantização do momento angular (equação 4-15) nos fornecia:

m v r = L = n ℏ

Assim,

m v = n ℏ r

Substituindo na equação do passo 1:

n ℏ r ⋅ v 2 = E

Assim,

n ℏ 2 ⋅ v r = E

Por outro lado, no movimento circular

v = 2 π r ν ,

onde ν é a frequência. Portanto,

n ℏ 2 ⋅ 2 π ν = E

Lembrando que ℏ = h / 2 π , obtemos

n h ν 2 = E → ν = 2 E n h

Prontinho, problema resolvido!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro