Enunciado

Mostre que a menor incerteza possível na posição de um elétron cuja velocidade é dada por β = v / c é

Δ x m i n = h 4 π m c 1 - β 2 1 / 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Temos que partir do princípio da incerteza:

Δ p   Δ x ≥ h 4 π

O objetivo é escrever uma expressão para a incerteza do momento Δ p e assim, encontrar a incerteza na posição.

Você precisa lembrar também da definição do momento relativístico:

p = 1 1 - β 2 ⋅ m v

Vamos substituir v = β c :

p = β 1 - β 2 m c

Passo 2

Como β é um número entre 0 e 1 , temos que

0 < β < 1 → 0 < β 1 - β 2 m c < m c 1 - β 2

Assim, podemos dizer que

p < m c 1 - β 2

Aqui vem o ponto chave da demonstração: a incerteza do momento não pode ser maior que o valor do momento. Pense um pouco sobre isso: não tem como a incerteza de alguma coisa ser maior que o valor dessa coisa.

Assim, podemos escrever

Δ p < p < m c 1 - β 2

Passo 3

Voltemos para o princípio da incerteza:

Δ p ≥ h 4 π ⋅ 1 Δ x

Combinando com o resultado do passo 2, temos

h 4 π ⋅ 1 Δ x ≤ Δ p < m c 1 - β 2

Ou ainda,

h 4 π ⋅ 1 Δ x < m c 1 - β 2

Isolando Δ x , achamos

Δ x > h 4 π ⋅ 1 - β 2 m c

Essa é exatamente a expressão que o exercício pedia para a gente demonstrar!

Resposta

Demonstração.

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