Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 7

Mostre que o número de partículas α espalhadas em um ângulo θ ou maior no espalhamento de Rutherford é

1 4 π ϵ 0 2 π I ρ t z Z e 2 M v 2 2 c o t g 2 θ 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema, temos que partir da equação (4-7) do livro:

N θ   d θ = 1 4 π ϵ 0 2 π I ρ t z Z e 2 M v 2 2 ⋅ 1 2 s e n   θ s e n 4 θ 2 d θ

Ela expressa o número de partículas alfa espalhadas em uma faixa de ângulos entre θ e θ + d θ . Para ter a quantidade de partículas espalhadas em uma faixa maior, precisamos integrar entre os ângulos desejados.

Assim,

N = ∫ θ π N θ   d θ = 1 4 π ϵ 0 2 π I ρ t z Z e 2 M v 2 2 ∫ θ π 1 2 s e n   θ s e n 4 θ 2   d θ

Nosso objetivo é calcular a integral:

A = ∫ 1 2 s e n   θ s e n 4 θ 2   d θ

Passo 2

O primeiro truque é escrever

s e n   θ = 2   s e n   θ 2 cos ⁡ θ 2

Assim,

s e n   θ s e n 4 θ 2 = 2   s e n   θ 2 cos ⁡ θ 2 s e n 4 θ 2 = 2 cos ⁡ θ 2 s e n 3 θ 2

Portanto, podemos cancelar o fator 2 :

A = ∫ cos ⁡ θ 2 s e n 3 θ 2   d θ

Agora podemos fazer a substituição u = s e n   θ 2 , de modo que

d u = 1 2 cos ⁡ θ 2   d θ → cos ⁡ θ 2   d θ = 2   d u

Logo,

A = 2 ∫ 1 u 3   d u = - u - 2 = - 1 u 2 = - 1 s e n 2 θ 2

Com isso, obtemos

N = ∫ θ π N θ   d θ = 1 4 π ϵ 0 2 π I ρ t z Z e 2 M v 2 2 - 1 s e n 2 θ 2 θ π

Substituindo os limites de integração:

N = ∫ θ π N θ   d θ = 1 4 π ϵ 0 2 π I ρ t z Z e 2 M v 2 2 - 1 + c o s s e c 2 θ 2

Você deve saber que c o t g 2 x = c o s s e c 2 x - 1 , de modo que

N = 1 4 π ϵ 0 2 π I ρ t z Z e 2 M v 2 2 c o t g 2 θ 2

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro