Enunciado

Mostre que para uma partícula livre podemos escrever a relação de incerteza também na forma

Δ λ   Δ x ≥ λ 2 4 π

onde Δ x é a incerteza na posição da onda e Δ x é a incerteza simultânea no comprimento de onda.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema nós partimos do princípio da incerteza:

Δ p   Δ x ≥ h 4 π

Além disso, precisamos lembrar da relação entre λ e p :

λ = h p → p = h λ

Com isso, podemos derivar p com relação a λ :

d p d λ = - h λ 2

Passo 2

Você lembra da definição de diferencial em cálculo 1?

f = f x → Δ f = d f d x Δ x

Aplicando isso para a relação p = h / λ , obtemos

Δ p = d p d λ   Δ λ = h λ 2 Δ λ

Considerei o módulo da derivada para que tudo fique positivo.

Passo 3

Agora substituímos Δ p no princípio de incerteza:

h λ 2 Δ λ   Δ x ≥ h 4 π

Assim,

Δ λ   Δ x ≥ λ 2 4 π

Prontinho 😉.

Resposta

Demonstração.

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