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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 21

Mostre a partir da distribuição de Fermi que num metal a T = 0   K a energia média de um elétron é 3 ε F 5 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

A energia média das partículas é dada por:

ε - = 1 N ∫ 0 ∞ ε n ε N ε   d ε

Aqui, neste ponto, N é o número total de partículas, ε é a energia de uma partícula individual, N ε d ε é o número de estados de ε entre o intervalo ε ≤ n ≤ ε + d ε , com isso a distribuição de Fermi em uma temperatura de 0 K tem as seguintes condições:

n = 1 ,     s e   0 ≤ ε ≤ ε F  

n = 0 ,     s e   ε > ε F

Ou seja, todos os estados abaixo da energia de Fermi são preenchidos e todos os estados acima estão vazios. Então, a energia média das partículas torna-se:

ε - = 1 N ∫ 0 ε F ε 1 N ε d ε + 1 N ∫ ε F ∞ ε 0 N ε d ε

ε - = 1 N ∫ 0 ε F ε N ε d ε + 0

Para os férmions, o número de estados é dado pela seguinte equação:

N ε d ε = 8 π V 2 m 3 h 3   ε   d ε

Passo 2

O número total de partículas N é a integral da distribuição de Fermi sobre todos os estados N ε d ε , que na temperatura de 0K.

N = ∫ 0 ∞ n ε N ε   d ε

Substituindo os valores, nós temos:

N = ∫ 0 ε F 8 π V 2 m 3 h 3   ε   d ε = 16 π V 2 m 3 3 h 3 ε F 3 2

Substituindo o N e o N ε d ε no cálculo de energia média, nós temos:

ε - = 3 h 3 16 π V 2 m 3 ε P 3 2 ∫ 0 ε P ε 8 π V 2 m 3 h 3   ε   d ε

Reduzindo alguns fatores, nós temos:

ε - = 3 h 3 8 π V 2 m 3 h 3 16 π V 2 m 3   ε F 3 2 ∫ 0 ε F ε 3 2   d ε

Simplificando mais as coisas, temos:

ε - = 3 2 ε F 3 2 2 5 ε F 5 2 = 3 5 ε F  

Portanto, a energia média de um elétron em um metal a 0 K é:

ε - = 3 5 ε F

Resposta

ε - = 3 5 ε F

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