Obtenha a lei do deslocamento de Wien, λ m a x = 0,2014   h c / k B , resolvendo a equação d ρ T λ / d λ = 0 .

Sugestão: faça h c / λ k B T = x e mostre que a equação citada leva a e - x + x / 5 = 1 . Mostre então que x = 4,965 é solução.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Queremos encontrar o valor de λ que maximiza a curva espectral ρ T λ . Para isso, temos que lembrar que

ρ T ν = 8 π h c 3 ⋅ ν 3 e h ν / k B T - 1

Além disso, aconselho você dar uma olhadinha no problema 12 em que eu demonstro que

ρ T λ = c λ 2 ⋅ ρ T ν = c λ

Assim,

ρ T λ = c λ 2 ⋅ 8 π h c 3 ⋅ c 3 λ 3 ⋅ 1 e h c / λ k B T - 1 = 8 π h c λ 5 ⋅ 1 e h c / λ k B T - 1

Temos que derivar essa expressão com relação a λ e igualar a 0 .

Passo 2

Tomando a derivada:

d ρ T λ d λ = 8 π h c - 5 λ 6 1 e h c / λ k B T - 1 + 1 λ 5 ⋅ - - h c λ 2 k B T e h c / λ k B T e h c / λ k B T - 1 2

Assim,

d ρ T λ d λ = 8 π h c λ 6 e h c / λ k B T - 1 - 5 + h c λ k B T ⋅ e h c / λ k B T e h c / λ k B T - 1 = 0

Daí, tiramos que

- 5 + h c λ k B T ⋅ e h c / λ k B T e h c / λ k B T - 1 = 0

Seguindo a sugestão do enunciado, fazemos a substituição x = h c / λ k B T :

- 5 + x e x e x - 1 = 0 → x e x e x - 1 = 5

Logo,

x e x = 5 e x - 5

Dividindo a equação por 5 e x :

x 5 = 1 - e - x → e - x + x 5 = 1

Essa é a equação que enunciado disse que chegaríamos e cuja solução é x = 4,965 . Se trata de uma equação transcendental e a única forma de resolvê-la é numericamente. Uma boa forma é plotar as funções y = e - x + x / 5 e y = 1 e localizar o ponto de encontro:

Feito isso, temos que

x = h c λ k B T = 4,965 → λ = 1 4,965 ⋅ h c k B T

Chamando esse λ de λ m a x , achamos

λ m a x = 0,2014 h c k B T

Essa é a lei do deslocamento de Wien:

λ m a x T = c o n s t a n t e

Resposta

Demonstração.

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