Para verificar experimentalmente que a radiação universal de 3   K , recentemente descoberta, se ajusta precisamente ao espectro de corpo negro, decide-se medir R T λ desde um λ menor que λ m a x , para o qual, R T λ = 0,2   R T λ m a x , até um λ maior que λ m a x , para o qual R T λ = 0,2   R T λ m a x novamente. Entre que valores de λ devem ser feitas as medidas?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeira coisa que você deve fazer é olhar o passo 1 do problema 17 e entender como eu cheguei na relação

ρ T λ = 8 π h c λ 5 ⋅ 1 e h c / λ k B T - 1

Em seguida, você seguir toda a resolução do problema 17 para entender como eu encontrei

λ m a x = 1 4,965 h c k B T

Isso significa que podemos escrever

h c k B T = 4,965   λ m a x

Assim,

ρ T λ = 8 π λ 5 ⋅ 4,965 λ m a x ⋅ k B T ⋅ 1 e 4,965 λ m a x / λ - 1

Ou ainda,

ρ T λ = 4,965 ⋅ 8 π k B T ⋅ λ m a x λ 5 ⋅ 1 e 4,965 λ m a x / λ - 1

Como R T λ é proporcional a ρ T λ e constantes não importam muito, vamos trabalhar com a função:

f T λ = λ m a x λ 5 ⋅ 1 e 4,965 λ m a x / λ - 1

Passo 2

A seguir plotamos o gráfico de f λ em função de λ :

Queremos encontrar os valores de λ 1 e λ 2 que correspondem a

f T λ 1 = f T λ 2 = 0,2   f T λ m a x

Quando λ = λ m a x , temos

f T λ m a x = λ m a x λ m a x 5 ⋅ 1 e 4,965 - 1 = 0,0070269 λ m a x 4

Com isso, queremos achar λ tal que

f T λ = 0,2 ⋅ 0,0070269 λ m a x 4

Desta forma, podemos escrever

λ m a x λ 5 ⋅ 1 e 4,965 λ m a x / λ - 1 = 0,2 ⋅ 0,0070269 λ m a x 4

Passando o λ m a x 4 multiplicando:

λ m a x λ 5 ⋅ 1 e 4,965 λ m a x / λ - 1 = 0,00140539

Passo 3

Para resolver essa equação vamos fazer uma mudança de variável:

x = λ m a x λ → x 5 e 4,965 x - 1 = 0,00140539

Para encontrar a solução dessa equação, plotamos duas curvas:

y = x 5 e 4,965 x - 1           e           y = 0,00140539

As soluções são:

x 2 = 0,379           e           x 1 = 2,041

Como λ = λ m a x / x , temos que

λ 1 = λ m a x 2,041 = 0,4899 λ m a x

λ 2 = 2,6385 λ m a x

Passo 4

Agora só temos que saber quem é λ m a x . Para isso, basta usar a lei de Wien:

λ m a x = 2,898 ⋅ 10 - 3   m   K T = 2,898 ⋅ 10 - 3   m   K 3   K = 0,966 ⋅ 10 - 3   m

Ou ainda,

λ m a x = 0,966   m m

Com isso:

λ 1 = 0,4732   m m               e           λ 2 = 2,5488   m m

Ufa! Deu trabalho, mas chegamos lá!

Resposta

λ 1 = 0,4732   m m               e           λ 2 = 2,5488   m m

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