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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 62

Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda de comprimento e tensão variáveis por um vibrador de frequência variável. As duas extremidades da corda são fixas. Quando o vibrador tem frequência f, em uma corda de comprimento L e sob tensão T, n antinodos são estabelecidos na corda. (a) Se o comprimento da corda é dobrado, por qual fator a frequência deve ser alterada para que o mesmo número de antinodos seja produzido? (b) Se a frequência e o comprimento forem mantidos constantes, que tensão produzirá n + 1 antinodos? (c) Se a frequência é triplicada e o comprimento da corda é a metade, por qual fator a tensão deve ser alterada de modo que o dobro de antinodos sejam produzidos?

Passo 1

Falaaaii moçadinha...

Bora láa

Primeiramente, consideramos que as ondas estacionarias com frequências quantizadas em sistemas como colunas de ar e cordas esticadas, como no exercício proposto, podem ser configuradas e quantizadas.

A frequência de vibração dos fios de comprimento, quando as duas pontas estão fixadas, pode ser dada por uma relação entre o número de nodos ( n ) , o comprimento do fio ( L ) , a tensão a que está sujeito ( T ) e a densidade da massa linear ( μ ) :

f = n 2 L T μ               ( 1 )

Passo 2

  1. Se o comprimento da corda é dobrado, isto é, L 2 = 2 ⋅ L 1 , para que o mesmo número de antinodos seja produzido haverá uma alteração da frequência. A frequência para a corda antes f 1 e para a corda depois ( f 2 ) , de acordo com a equação (1), são:

    2. f 1 = n 1 2 L 1 T 1 μ 1                       ( 1 )

    f 2 = n 2 2 L 2 T 2 μ 2                       ( 2 )

    Alterando-se o comprimento da corda não iremos afetar a sua tensão e nem sua densidade de massa linear. Levando esses dados em consideração, e fazendo a razão das duas frequências podemos determinar a relação entre elas:

    f 2 f 1 = n 2 2 L 2 T 2 μ 2 n 1 2 L 1 T 1 μ 1

    f 2 f 1 = n 2 2 L 2 T 2 μ 2 2 L 1 n 1 T 1 μ 1

    f 2 f 1 = L 1 L 2

    f 2 f 1 = L 1 2 L 1

    f 2 f 1 = 1 2

    Passo 3

  2. Mantendo-se a frequência e o comprimento constantes, a densidade de massa linear também será a mesma. Fazendo – se a razão entre as frequências antes e depois , equações (1) e (2).

    3. f 2 f 1 = n 2 2 L 2 T 2 μ 2 n 1 2 L 1 T 1 μ 1

    f 2 n 1 2 L 1 T 1 μ 1 = f 1 n 2 2 L 2 T 2 μ 2

    n 1 T 1 = n 2 T 2

    T 1 T 2 = n 2 n 1

    T 1 T 2 = n 2 n 1 2         ( 3 )

    O exercício nos pede a tensão que produzirá n+1 antinodos, ou seja, pra que:

    n 2 = n 1 + 1           ( 4 )

    Substituindo a relação dada em (4) na equação (3), temos que anova tensão T 2

    T 1 T 2 = n 2 n 1 2

    T 1 T 2 = n 1 + 1 n 1 2

    T 2 = n 1 n 1 + 1 T 1

    Passo 4

  3. Se a frequência for triplicada, isto é, f 2 = 3 ⋅ f 1 , o comprimento for dividido ao meio L 2 = L 1 2 , e os antinodos forem o dobro, n 2 = 2 ⋅ n 1 , apenas a densidade de massa linear permanecerá igual. Levando esses dados em consideração. E fazendo a razão entre as frequências antes e depois, equações (1) e (2), respectivamente temos:

f 2 f 1 = n 2 2 L 2 T 2 μ 2 n 1 2 L 1 T 1 μ 1

f 2 f 1 = n 2   L 1 n 1 L 2 T 1 T 2

T 2 T 1 = f 2 n 1 L 2 f 1 n 2 L 1 2

T 2 T 1 = f 2 f 1 n 1 2 ⋅ n 2 L 2 L 1 2

T 2 T 1 = 3 f 1 f 1 n 1 2 ⋅ n 1 L 1 2 ⋅ L 1 2

T 2 T 1 = 3 4 2

T 2 T 1 = 9 16

T 2 = 9 16 T 1

Resposta

Vide o passo a passo.

Ver Outros Exercícios desse livro