Enunciado

Um padrão de onda estacionária é observado em um arame fino com comprimento de 3,00 m. A função de onda é:

y = 0,00200   s e n π x cos ⁡ 100 π t

onde x e y são dados em metros e t em segundos. (a) Quantos anéis esse padrão exibe? (b) Qual é a frequência fundamental de vibração do arame? (c) E se? Se a frequência original é mantida constante e a tensão no arame é aumentada por um fator de 9, quantos anéis estão presentes no novo padrão?

Passo 1

Olá Oláa, vamo láa?

Você lembra que a função geral de onda em um fio é dada pela equação

y = 2 A s e n k x cos ⁡ ω t ?

Se fizermos uma comparação dessa equação com a equação de onda dada no enunciado nós iremos obter os seguintes valores:

k = 2 π λ = π

λ = 2   m

E

ω = 2 π f = 100 π

f = 50   H z

Passo 2

  1. Vamos lembrar que o número de loops em um fio de comprimento L é dado por:
  2. N = L d N

    Onde d N representa a distância entre dois nós é e igual a

    d N = λ 2

    Temos

    N = L d N = 2 L λ

    Assim:

    N = 2 × 3,00 2,00 = 3   a n é i s

    Passo 3

  3. Agora precisamos calcular a frequência fundamental de vibração no arame. Vamos relembrar que a frequência fundamental para uma onda em uma corda é igual à metade do comprimento de onda ( λ ) . Assim:
  4. λ = 2 L = 6,00

    Passo 4

    Para calcularmos a frequência, nos vamos utilizar a seguinte expressão:

    f = v λ

    Neste caso, precisaremos saber também o valor da velocidade. Vamos pensar que a velocidade de uma onda em fio é dada por:

    v = f λ

    Assim, o valor que iremos procurar é

    v = 50 × 2,00 = 100   m / s .

    E finalmente, podemos efetuar o calculo de frequência:

    f = 100 6,00

    f = 16,7   H z

    Passo 5

  5. Se aumentar a tensão inicial em nove vezes teremos que T 2 = 9 T 1 . Entendemos que neste caso precisamos calcular uma nova velocidade v 2 para a configuração proposta. Nós podemos calcular o valor de v 2 partindo da seguinte informação:

v 2 = T 2 μ = 9 T 1 μ

É possível notar que T 1 / μ = v 1 , Logo:

v 2 = 2 v 1 = 3 × 100 = 300   m / s

A nova distância entre dois nós será dada por:

d N = 1 2 λ 2

Passo 3

E o novo comprimento de onda é

λ 2 = v 2 f = 300 50 = 6   H z

Então:

d N = 6,00 2

Finalmente, podemos calcular o número de loops

N = L d N = 2 L λ = 6,00 6,00 = 1   a n e l

Resposta

Vide a explicação.

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