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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 51

Uma partícula com massa de 0,500 kg é presa a uma mola horizontal com constante de força de 50,0 N/m. No instante t 5 0, ela tem sua velocidade máxima de 20,0 m/s e está se movendo para a esquerda. (a) Determine a equação de movimento da partícula, especificando sua posição como função do tempo. (b) Onde, no movimento, a energia potencial é três vezes a energia cinética? (c) Encontre o intervalo de tempo mínimo necessário para que a partícula se mova de x 5 0 até x 5 1,00 m. (d) Encontre o comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

x = Acos ⁡ ω t + ϕ → v = - ω Asin ⁡ ω t + ϕ

Temos em t = 0 , v = - ω Asin ⁡ ϕ = - v m a x .

Isso exige que ϕ = 90 ∘ ,  então  x = A c o s ⁡ ω t + 90 ∘ .

→ x = Acos ⁡ ω t + π 2

ω = k m = 50 N m 0.5 k g = 10 s - 1

v m a x = ω A → 20 m s = 10 s - 1 A → A = 2 m

Então, x = 2 cos ⁡ 10 t + π 2

Passo 2

Letra b:

Usando 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 , precisamos que 1 2 k x 2 = 3 1 2 m v 2 , o que implica que:

1 3 1 2 k x 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 → 4 3 x 2 = A 2

x = ± 3 4 A = ± 0.866 2.00 m = ± 1.73 m

Passo 3

Letra c:

A posição da partícula é:

x = 2 cos ⁡ 10 t + π 2

Quando está em x =0:

10 t + π 2 = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , … → 10 t = 0 , π , 2 π , 4 π …

Está em x = 1 quando:

10 t + π 2 = 3 π 2 + π 3 = 11 π 6

Então,

10 t = 4 π 3

O tempo mínimo necessário para que a partícula se mova de x = 0 até x = 1 é:

10 Δ t = 4 π 3 - π = π 3 → Δ t = π 30 = 0.105 s = 105 m s

Passo 4

Letra d:

ω = g L → L = g ω 2 = 9.80 m s 2 10 s - 1 2 = 0.0980 m

Resposta

  1. x = 2 cos ⁡ 10 t + π 2
  2. ± 1.73 m
  3. 0.105 s = 105 m s
  4. 0.0980 m
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