Enunciado

Uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, está sujeita a uma força F = F 0 1 - t - T 2 / T 2 durante o intervalo 0 ≤ t ≤ 2 T . Prove que a velocidade da partícula no fim do intervalo é de 4 F 0 T / 3 m . Note que ela depende somente do produto F 0 2 T e, se T decresce, a mesma velocidade é atingida, aumentando-se F 0 proporcionalmente. Represente graficamente F versus t . Você é capaz de imaginar uma situação física para a qual este problema seja uma descrição adequada?

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos resolver essa questão por integração direta:

F = m a = m d v d t ∴ v 2 T = v 0 ⏝ 0 + F 0 m ∫ 0 2 T 1 - t - T 2 / T 2 d t

Portanto:

v f = F 0 m t - t - T 3 3 T 2 0 2 T

Ou seja:

v f = F 0 m 2 T - T 3 3 T 2 - 0 + T 3 3 T 2 = F 0 m 2 T - 2 3 T

Por fim:

v f = 4 F 0 T 3 m

Como queríamos demonstrar.

Passo 2

O gráfico de F por t é do tipo:

O gráfico foi montado tomando F 0 = 10 N e T = 10 s .

Passo 3

Há uma situação física bem simples que a força se assemelha à dada pelo problema. Imagine uma partícula presa em um aro circular, sendo submetida a uma aceleração tangencial constante. Assim, ela terá velocidade linear do tipo:

v = v 0 + a t

E assim, a força exercida pelo aro será a resultante centrípeta, dada por:

F 1 = m R v 0 + a t 2

Que é uma parábola com concavidade para cima. Porém, perceba que a força exercida pela partícula no aro é:

F 2 = - F 1 = - m R v 0 + a t 2

Que é uma parábola com concavidade negativa, assim como a força do problema, diferindo desta apenas por uma constante inicial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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