Uma partícula de massa µ está presa numa extremidade de uma barra rígida de massa desprezível e comprimento R. A outra extremidade da barra gira no plano x-y em torno de

um suporte localizado na origem e cujo eixo tem direção z. Esse "rotor rígido” bidimensional está representado na figura (7-13).

(a) Escreva uma expressão para a energia total do sistema em termos de seu momento angular L. (Sugestão: Tome o valor zero para a energia potencial constante e expresse a energia cinética em termos de L.

(b) Introduzindo operadores apropriados na equação da energia converta-a na equação de Schroedinger

- h 2 2 I   ∂ 2 ψ φ , t ∂ φ 2 = i h ∂ ψ φ ,   t ∂ t

onde I = μ R 2 é inércia de rotação, ou momento de inércia e ψ ( φ ,   t ) é a função de onda

escrita em termos da coordenada angular e o tempo t. (Sugestão: Como o momento angular só tem direção z, L = L z e o operador correspondente é L z o p = - i h ∂ ∂ φ

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Primeiro, vamos lembrar que o operador do momento angular é dado da seguinte forma:

L o p 2 = - h 2 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ + 1 sin 2 ⁡ θ   ∂ 2 ∂ φ 2

E a função de onda é dada por:

ψ n = R n l r Θ l m 1 θ Φ m l φ

Desde que essa condição seja obedecida:

Φ m l φ = e i m l φ

Portanto, temos:

∂ 2 ∂ φ 2 e i m l φ =   - m i 2 e i m l φ = - m l 2 Φ m l ( φ )

Com isso, Θ i m l ( θ ) satisfaz a função:

- 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ Θ i m l θ + m l 2 sin 2 ⁡ θ   Θ l m l θ = l l + 1 Θ l m l θ

Com isso, nós temos que:

1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ Θ l m l θ = m l 2 sin 2 ⁡ θ Θ l m l θ - l l + 1 Θ l m l ( θ )

Passo 2

Lembra que no livro, essa equação pode ser reescrita (é a equação 7-17), então podemos usar um operador para reescrever a equação, então ela vai desse jeito aqui:

∇ 2 ψ = 2 μ h 2 V - E ψ

No final das contas, L o p 2 será dado por:

L o p 2 ψ = l l + 1 h 2 ψ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro