Enunciado

Uma partícula está submetida a uma força F = ux(y² - x²) + u(3xy) no sistema MKSC. Determine o trabalho realizado pela força quando a partícula é deslocada do ponto (O, O) ao ponto (2,4) ao longo de cada um dos seguintes caminhos: (a) ao longo do eixo X de (0,0) a (2,0) e paralelamente ao eixo Y até (2, 4); (b) ao longo de Y de (0,0) a (0,4) e paralelamente a X até (2, 4); (c) ao longo ele uma reta que passa por ambos os pontos; (cl) ao longo ela parábola y = x². Essa é uma força conservativa?

Passo 1

Fala galeraa, tudo bem??

Vamos realizar o trabalho em todos os deslocamentos. Em a, temos de (0,0) a (0,4) no eixo Y. Temos, então:

y=0; de A a C:

F = - x 2 V x ;   d 𝔀 = F * d r = - x ² d x

= - ∫ 0 2 x ² d x = - 1 / 3 * x 3 | 2 - 0 |

= - 1 / 3 * 8

= - 8 / 3

Logo,

𝔀 = - 8 / 3   J

Passo 2

de C a B, x=z:

F = ( y ² - 4 ) V x + 6 y V y ;   d 𝔀

= F * d r = 6 y d y

= ∫ 0 4 6 y d y = 6 * y ² / 2 | 4 - 0 |

= 6 * 8 ⇒ 𝔀 = 48 J

Agora, precisamos somar ambos os trabalhos para encontrar o total:

𝔀 = 48 J - 8 / 3 J ∼ 45,3 J

Passo 3

Na letra b, temos de (0,0) a (0,4) no eixo Y e paralelamente a X em (2,4). Temos, então:

x=0; de A a D:

F = y 2 V x ;   d 𝔀 = F * d r = 0

de D a B, y=4:

F = ( 16 - x ² ) V x + 12 x V y ;

d 𝔀 = F * d r = ( 16 - x ² )   d x

= 16 x | 2 - 0 |   - x ³ / 3 | 2 - 0 |

= 32 - 8 / 3

⇒ 𝔀 = 29,3 J

Logo, 𝔀 = 29,3 J

Passo 4

Na letra c, temos:

F = 3 x ² V x + 6 x ² V y , como:

d r = V x d x + V y d y

d 𝔀 = F * d r = ( 3 x ² V x + 6 x ² V y ) * V x d x + V y d y

Resolvendo esta equação, chegamos em:

𝔀 = 40   J

Passo 5

Na letra d, temos:

d r = V x d x + V y d y

d 𝔀 = F * d r = ( y ² - x ² ) d x + 3 x y d y

𝔀 = x 5 / 5 | 2 - 0 | - x 3 / 3 | 2 - 0 | + 6 4 5 / 2 / 5 | 4 - 0 | = 32 / 5 - 8 / 3 + 192 / 5 = 42,133 . .

𝔀 = 42,13   J

O trabalho dado pela força depende do gráfico, logo, a força não é conservativa!

Resposta

a. 45,3J

b. 29,3J

c. 40J

d. 42,13J

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