Enunciado

Uma placa em forma de coroa circular, de raios R1 e R2, é pressionada contra uma superfície plana, por meio de uma força F, aplicada perpendicularmente ao plano. Sendo μ o coeficiente de atrito e supondo que a pressão decorrente da aplicação de F se distribua uniformemente na placa, determinar o momento máximo M, que pode ser equilibrado pelas forças de atrito, sem que haja escorregamento.

Passo 1

Bom, vamos pensar que, como dito no enunciado, a pressão está sendo aplicada uniformemente sobre todo o corpo. Por conta disso, devemos considerar que para que haja a pressão, existe uma força sendo aplicada sobre toda a área do sólido.

A área a que devemos levar em consideração, é a coroa circular, de raios R1 e R2. Lembrando que a pressão é a razão entre a força aplicada e a área pela qual se aplica esta força, teremos a seguinte relação:

P = F A = F π ( R 1 - R 2 ) ²

Passo 2

Agora, vamos tentar lembrar um pouquinho sobre derivação utilizando coordenadas polares. Como temos a aplicação de uma pressão sobre um corpo rígido que apresenta irregularidades, nós não podemos considerar a fórmula encontrada acima para a pressão como a fórmula geral. Para encontrarmos essa pressão, devemos pensar que cada infinitesimal elemento de área presente em todo o corpo deve ser considerado.

Entendeu mais ou menos o que quero dizer?

Sim, devemos derivar a equação definida para a pressão neste corpo, para assim encontrar a pressão geral (considerando cada pedaço infinitesimalmente pequeno de área).

Como a pressão está sendo aplicada na força Normal, podemos dizer que P=dN. Agora, vamos entender melhor essa aplicação de derivada:

d N = F π R 1 - R 2 2 '

Como eu tinha dito, iremos precisar de coordenadas polares para entendermos melhor este passo. Quando se aplica a derivada nessa equação, a variação de área estará sempre relacionada à variação do ângulo θ, o que nos faz realizar a aplicação de coordenadas polares para o elemento de área, que será rdrdθ. Logo, teremos:

d N = P * r d r d θ = F π R 1 - R 2 2 * r d r d θ

Passo 3

Agora que encontramos dN, devemos pensar na força de atrito que o problema nos deu. Nós temos neste elemento de área a seguinte equação:

d T = μ * d N

Logo, podemos dizer que:

d T = μ * F π R 1 - R 2 2 * r d r d θ

Passo 4

Para chegarmos no momento desejado pela atividade, devemos agora lembrar a definição de momento: é a variação da força aplicada em determinada distância, correto?

Como queremos o momento em relação ao eixo vertical de simetria, então teremos a força de atrito que está sendo aplicada com distância r do foco. Assim, temos:

d M = r * d T = r * μ * F π R 1 - R 2 2 * r d r d θ

d M = μ * F π R 1 - R 2 2 * r ² d r d θ

Como nós desejamos o momento, devemos integrar esta equação para chegar no desejado. Lembrando que a variação do raio é de R 1 a R 2 , e que o ângulo de rotação vai de 0 a 2   π , temos:

∫ d M = μ F π R 1 - R 2 2 ∫ R 1 R 2 r ² d r ∫ 0 2 π d θ

Aplicando esta integral, nós chegaremos ao seguinte valor de momento:

M = 2 μ F * ( R 1 ³ - R 2 ³ ) 3 * R 1 - R 2 2

Resposta

M = 2 μ F * ( R 1 ³ - R 2 ³ ) 3 * R 1 - R 2 2

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