Enunciado
Física - Luis França - Mecânica Geral- Ed: 2º - Capítulo 8.Exemplo - Ex. 10
Uma placa em forma de coroa circular, de raios R1 e R2, é pressionada contra uma superfície plana, por meio de uma força F, aplicada perpendicularmente ao plano. Sendo μ o coeficiente de atrito e supondo que a pressão decorrente da aplicação de F se distribua uniformemente na placa, determinar o momento máximo M, que pode ser equilibrado pelas forças de atrito, sem que haja escorregamento.
Passo 1
Bom, vamos pensar que, como dito no enunciado, a pressão está sendo aplicada uniformemente sobre todo o corpo. Por conta disso, devemos considerar que para que haja a pressão, existe uma força sendo aplicada sobre toda a área do sólido.
A área a que devemos levar em consideração, é a coroa circular, de raios R1 e R2. Lembrando que a pressão é a razão entre a força aplicada e a área pela qual se aplica esta força, teremos a seguinte relação:
Passo 2
Agora, vamos tentar lembrar um pouquinho sobre derivação utilizando coordenadas polares. Como temos a aplicação de uma pressão sobre um corpo rígido que apresenta irregularidades, nós não podemos considerar a fórmula encontrada acima para a pressão como a fórmula geral. Para encontrarmos essa pressão, devemos pensar que cada infinitesimal elemento de área presente em todo o corpo deve ser considerado.
Entendeu mais ou menos o que quero dizer?
Sim, devemos derivar a equação definida para a pressão neste corpo, para assim encontrar a pressão geral (considerando cada pedaço infinitesimalmente pequeno de área).
Como a pressão está sendo aplicada na força Normal, podemos dizer que P=dN. Agora, vamos entender melhor essa aplicação de derivada:
Como eu tinha dito, iremos precisar de coordenadas polares para entendermos melhor este passo. Quando se aplica a derivada nessa equação, a variação de área estará sempre relacionada à variação do ângulo θ, o que nos faz realizar a aplicação de coordenadas polares para o elemento de área, que será rdrdθ. Logo, teremos:
Passo 3
Agora que encontramos dN, devemos pensar na força de atrito que o problema nos deu. Nós temos neste elemento de área a seguinte equação:
Logo, podemos dizer que:
Passo 4
Para chegarmos no momento desejado pela atividade, devemos agora lembrar a definição de momento: é a variação da força aplicada em determinada distância, correto?
Como queremos o momento em relação ao eixo vertical de simetria, então teremos a força de atrito que está sendo aplicada com distância r do foco. Assim, temos:
Como nós desejamos o momento, devemos integrar esta equação para chegar no desejado. Lembrando que a variação do raio é de a , e que o ângulo de rotação vai de 0 a 2, temos:
Aplicando esta integral, nós chegaremos ao seguinte valor de momento: