Enunciado
Física - Luis França - Mecânica Geral- Ed: 2º - Capítulo 6.Exemplo - Ex. 4
Os discos de centro A e C rolam sem escorregamento no interior do disco fixo de centro B. Sabendo que o disco A gira com velocidade angular ω = cte., determinar a velocidade e a aceleração do ponto D indicado, situado na periferia do disco C, (CD ┴ AC).
Passo 1
Vamos primeiramente entender o contexto da figura. Nós temos dois discos, um pequeno e um grande. Pensando no disco pequeno, podemos ver que ele está contido pelos pontos D e C, além de apresentar a barra de raio R presente no eixo A partir disso, podemos entender que, em D, a velocidade será uma soma da velocidade em C com a velocidade da barra. A velocidade da barra pode ser encontrada quando pensamos que sua rotação gera uma velocidade angular ωd que depende do raio R. A partir destas considerações, podemos concluir neste primeiro passo, que a velocidade em D pode ser descrita como
Passo 2
Pronto, temos a equação necessária para realizar os cálculos do problema. Agora, vamos definir a velocidade no ponto C. Se observarmos, o ponto C é a extremidade da barra de centro B. Por conta disso, devemos pensar na velocidade deste ponto como elemento da barra de centro B. Se observarmos, a velocidade em C é paralela à velocidade em A, pois, com o movimento, ambos realizarão escorregamentos paralelos. Por conta disso, vamos utilizar a equação de velocidades paralelas em discos, considerando os raios e obtendo:
Se observarmos a figura, percebemos que vA pode ser calculado de forma semelhante à velocidade da barra no disco pequeno. Ela é regida pela multiplicação do raio pela velocidade angular da barra, levando em consideração que está no sentido negativo do eixo u. Assim, podemos dizer que
Como RA=2R, teremos que:
Substituindo em vC, teremos:
Pronto, encontramos a velocidade em C levando em consideração que ele é o ponto de extremidade da barra. Mas, não podemos deixar de lado o fato de C ser também o ponto de centro do disco pequeno.
Passo 3
Nós teremos, pensando em C como ponto do disco, que considerar o possível rolamento deste disco. Assim, teremos que a velocidade em C será, neste caso:
Passo 4
Como encontramos as duas equações para a velocidade em c, podemos igualá-las e chegar na seguinte conclusão:
Passo 5
Após encontrarmos a velocidade em C, o próximo passo é substituir na equação da velocidade em D. Nós teremos:
Passo 6
Agora, podemos encontrar a aceleração em C, que, como apresenta movimento circular uniforme no período de rotação, será:
Passo 7
Por fim, podemos finalmente encontrar a aceleração em D, que, assim como a velocidade em D, depende da aceleração em C e da aceleração sofrida pela barra de raio R. Teremos, então:
Simplificando, teremos:
Pronto! Encontramos tudo como desejado.
Resposta
e