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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 10

A posição inicial, velocidade e aceleração de um corpo em movimento harmônico simples são xi, vi e ai; a frequência angular da oscilação é v. (a) Mostre que a posição e a velocidade de um corpo em qualquer momento podem ser escritas como

x ( t ) = x i c o s ⁡ ω t + v i ω s i n ⁡ ω t v ( t ) = - x i ω s i n ⁡ ω t + v i c o s ⁡ ω t

(b) Usando A para representar a amplitude do movimento, mostre que

v 2 - a x = v i 2 - a i x i = ω 2 A 2

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

A solução:

x t = x i cos ⁡ ω t + v i ω sin ⁡ ω t

Implica em:

v = d x d t = - x i ω s i n ⁡ ω t + v i c o s ⁡ ω t

E

a = d v d t = - x i ω 2 c o s ⁡ ω t - v i ω s i n ⁡ ω t = - ω 2 x i cos ⁡ ω t + v i ω sin ⁡ ω t = - ω 2 x

Passo 2

Letra a:

A aceleração sendo uma constante negativa vezes a posição significa que sua frequência angular é ω . Em t = 0 as equações se reduzem a x = x i  e  v = v i , então eles satisfazem todos os requisitos.

Passo 3

Letra b:

v 2 - a x = - x i ω sin ⁡ ω t + v i cos ⁡ ω t 2 - - x i ω 2 cos ⁡ ω t - v i sin ⁡ ω t x i cos ⁡ ω t + v i ω sin ⁡ ω t

v 2 - a x = x i 2 ω 2 s i n 2 ⁡ ω t - 2 x i v i ω s i n ⁡ ω t c o s ⁡ ω t + v i 2 c o s 2 ⁡ ω t + x i 2 ω 2 c o s 2 ⁡ ω t + x i v i ω c o s ⁡ ω t s i n ⁡ ω t + x i v i ω s i n ⁡ ω t c o s ⁡ ω t + v i 2 s i n 2 ⁡ ω t = x i 2 ω 2 + v i 2

Portanto, esta expressão é constante no tempo. Por um lado, deve manter seu valor original v i 2 - a i x i . Por outro lado, se avaliarmos em um ponto de inflexão onde v = 0  e  x = A , temos A 2 ω 2 + 0 2 = A 2 ω 2 . Assim está provado.

Resposta

  1. A aceleração sendo uma constante negativa vezes a posição significa que sua frequência angular é ω . Em t = 0 as equações se reduzem a x = x i  e  v = v i , então eles satisfazem todos os requisitos.
  2. Ver resolução
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