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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 9

Um próton e um dêuteron (uma partícula com a mesma carga que o próton, mas com a massa duas vezes maior) tentam o penetrar em uma barreira de potencial retangular de altura 10   M e V e largura 10 - 14   m . As duas partículas têm energias totais de 3   M e V . (a) Use argumentos qualitativos para prever qual das partículas tem maior probabilidade consegui-lo. (b) Calcule quantitativamente a probabilidade de sucesso para cada uma das partículas.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A probabilidade de penetração é dada pelo coeficiente de transmissão (equação 6-49 do livro):

T = 1 1 + 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0 sinh 2 ⁡ k 2 a

Com k 2 dado por

            k 2 = 2 m V 0 - E ℏ

Considerando E = 3   e V e V 0 = 10   e V :

E V 0 1 - E V 0 = 3 10 1 - 3 10 = 21 100

Assim,

T = 1 1 + 25 21 sinh 2 ⁡ k 2 a

Quanto maior k 2 , maior será o denominador e menor será a transmissão. Como a massa do deuteron é maior que a do próton, o correspondente k 2 também será maior. Portanto, a transmissão do deuteron tem menor probabilidade de ocorrer que para o próton.

Passo 2

Considerando que para o próton m = 1,67 ⋅ 10 - 27   k g e V 0 - E = 7   M e V = 7 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 13   J :

k 2 a = 2 ⋅ 1,67 ⋅ 10 - 27 ⋅ 7 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 13 1,05 ⋅ 10 - 34 ⋅ 10 - 14 = 5,82

Usamos a = 10 - 14   m para a espessura. Assim, podemos calcular

T p r o t o n = 1 1 + 25 21 sinh 2 ⁡ ( 5,82 ) → T p r o t o n = 2,96 ⋅ 10 - 5

Como a massa do deuteron é o dobro do próton, basta multiplicar o k 2 a do próton por 2 :

k 2 a = 2 ⋅ 5,82 = 8,23

Logo,

T d u e t e r o n = 1 1 + 25 21 sinh 2 ⁡ 8,23 → T d e u t e r o n = 2,39 ⋅ 10 - 7

Resposta

T p r o t o n = 2,96 ⋅ 10 - 5

T d e u t e r o n = 2,39 ⋅ 10 - 7

Ver Outros Exercícios desse livro