Prove que, quando os eixos utilizados por O e O ' não são paralelos à velocidade relativa, a transformação geral de Lorentz é

r ' → = r → + γ - 1 r → ∙ v → v → v 2 - γ v → t

t ' = γ t - r → ∙ v → / c 2

[Sugestão: decompor os vetores r → e r ' → em componentes paralelas e perpendiculares a v → ;

Note que   r ' → = r ' → / / + r ' → ⊥ e r → / / = r → ∙ v → v → / v 2 ].

Passo 1

E aí, beleza?? Para resolver essa questão, vamos utilizar a sugestão dada. Considere os vetores paralelos e perpendiculares à velocidade:

r → / / = r → ∙ v → v 2   v →

Essa componente se comporta como:

r ' → / / = γ r → / / - v → t = γ r → ∙ v → v → v 2 - γ v → t

Passo 2

Agora, vamos ver a componente perpendicular. Ela não se transforma, portanto:

r ' → ⊥ = r ⊥ → = r → - r → /   / = r → - r → ∙ v → v 2   v →

Ou seja:

r ' → = r → ⊥ + r → /   /

Assim:

r ' → = r → + γ - 1 r → ∙ v → v → v 2 - γ v → t

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Para o tempo, vem:

t ' = γ t - v → ∙ r → /   / c 2

Contudo, note que

r ⊥ → ∙ v → = 0

Assim, vem:

v → ∙ r → /   / = v → ∙ r →

Desse modo, ficamos com:

t ' = γ t - r → ∙ v → c 2  

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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