Enunciado

Prove que, quando uma força é conservativa, então lJF /,Jy = lJF llJx, lJF llJz = :,; !J 11

= lJF/,Jy, e lJF/lJx = lJF/lJz. Pode-se também provar que a recíproca é verdadeira e,

portanto, isso constitui um teste importante para determinar se o campo de forças é

conservativo. Com base nisso, verifique quais das seguintes forças são conservativas: (a) u x", (b) u y", (c) 1i.(x2 -y2) + u (3xy), (d) 1i.(2xy) + 1, (;i,2), (e) 1, yz + u zx + u,xy. x,·"" .t .. N .. li ·1 li ..(f) u,.x + lt,

;Y + u,z.

Passo 1

Galera, neste exercício se F é conservativa, então: F x = - δ E p δ x ; F y = - δ E p δ y ; F z = - δ E p δ z

δ F x δ y = δ ( - δ E p / δ x ) δ y = - δ 2 E p δ y ⋅ δ x = δ ( - δ E p / δ y ) δ x = δ F y δ x

Passo 2

Sendo que se a função W = f ( x ,   y )   e suas derivadas parciais f x ;   f y ; f x y e f y são contínuas, se tem que δ δ x ( δ f δ y ) = δ δ y ( δ f δ x ) de forma idêntica: δ f y δ z = δ f z δ y ; δ f y δ z = δ f x δ x

Passo 3

Logo, Em a:

f x = x n ⋅ V x

δ f x δ y = 0 = δ f y δ x = δ f y δ z = δ f z δ y = δ f x δ x = δ f x δ z → Conservativa

Passo 4

Em b:

f y = y n ⋅ V x

δ f x δ y = n ⋅ y n - 1 ; δ f y δ x = 0 → Não conservativa

Passo 5

Em c:

f = ( x 2 + y 2 ) ⋅ V x

f = 3 x y ⋅ V x

δ f x δ y = - 24 ; δ f y δ x = 34 → Não conservativa

Passo 6

Em d:

f = 2 x y ⋅ V x + x 2 ⋅ V y

δ f x δ y = 24 ; δ f y δ x = 2 x → Conservativa

Passo 7

Em e:

f = y z ⋅ V x + x z ⋅ V y + x y ⋅ V z

δ f x δ y = δ f y δ x = z ; δ f z δ y = δ f y δ z = x ; δ f x δ x = δ f x δ z = y → Conservativa

Passo 8

Por fim, em f:

f = x ⋅ V x + y ⋅ V y + z ⋅ V z

δ f x δ y = δ f y δ x = δ f y δ z = δ f z δ y = δ f x δ x = δ f x δ z = 0 → Conservativa

Resposta

a. Conservativa.

b. Não conservativa.

c. Não conservativa.

d. Conservativa.

e. Conservativa.

f. Conservativa.

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