Um raio pode produzir um par elétron-pósitron na vizinhança de um elétron em repouso, da mesma maneira que na vizinhança de um núcleo. Mostre que nesse caso a energia mínima é . (Sugestão: não despreze o recuo do elétron original, mas suponha que as três partículas se afastam juntas. use o sistema de referencial do centro de massa.)

Primeiramente, antes da colisão, temos que a energia total corresponde à soma da energia do fóton com a energia de repouso do elétron, enquanto o momento total será o momento do fóton, dado pela relação . Assim, sendo a energia do fóton, temos:

Agora, após a colisão, no referencial do centro de massa das três partículas, o momento total é nulo. Assim, vem:

Onde , e são as energias cinéticas das partículas. Como as energias cinéticas são sempre maiores ou iguais a zero, temos:

Assim, temos:

Abrindo as contas, chegamos em:

Portanto:

Ou seja, a energia mínima é dada por:

Como queríamos demonstrar!