No referencial do laboratório (LAB), a partícula 1 encontra-se em repouso com uma energia relativística total E 1 e a partícula 2 move-se para a direita com uma energia relativística total E 2 e momento linear ρ 2 (a) Use as equações de transformação momento-energia relativÍsticas

ρ x ' = 1 1 - v 2 c 2 ρ x - v E c 2

ρ y ' = ρ y

ρ z ' = ρ z

E ' = 1 1 - v 2 c 2 ( E - v ρ x )

Para mostrar que o referencial, no qual o centro das massas relativísticas do sistema se encontra em repouso, se move para a direita com a velocidade

v = c c ρ 2 E 1 + E 2

relativa ao referencial do laboratório. Mostre também que o momento total do sistema

é nulo nesse referencial do centro de massa (CM).

(b) Suponhamos agora que as duas partículas tenham a mesma massa de repouso m 0 e que a energia relativística total do

sistema no referencial do laboratório seja E L A B Calcule a energia relativística total E C M do sistema no referencial do centro de massa e mostre que

E C M = 2 m 0 c 2 E L A B

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Na letra (a) no quadro LAB temos que,

V c m = m 1 0 + m 2 V 2 m 1 + m 2 = P 2 m 1 + m 2 = P 2 c 2 E 1 + E 2

Com isso a velocidade do quadro no centro da massa é

V = V c m = c c P 2 E 1 + E 2

Passo 2

Na letra (b) sabendo que, E L A B = E 1 + E 2 . No quadro CM a energia da partícula vão ser

E C M 1 = E 1 - β c P 1 1 - β 2 1 2 = E 1 1 - β 2 1 2

E C M 2 = E 2 - β c P 2 1 - β 2 1 2

Com isso,

E C M = E C M 1 + E C M 2 = 1 - β 2 - 1 2 E 1 + E 2 - β C P 2

E C M = 1 - β 2 - 1 2 E L A B - β c P 2

Pelo (a) temos,

β = v c = c P 2 E L A B

E portanto,

E L A B - β c P 2 = E L A B 1 - β 2

Desde que E 1 = m 0 c 2 e E 2 2 = c 2 P 2 2 + m 0 2 c 4

1 - β 2 = 1 - c 2 P 2 2 E L A B 2 = E 1 + E 2 2 - E 2 2 - E 1 2 E L A B 2 = 2 E 1 2 + 2 E 1 E 2 E L A B 2

1 - β 2 = 2 E 1 E L A B = 2 m 0 c 2 E L A B

Assim eles dão,

E C M = E L A B 2 m 0 c 2 E L A B 1 2

E C M = 2 m 0 c 2 E L A B 1 2

Resposta

a) V c m = c c P 2 E 1 + E 2

b)   E C M = 2 m 0 c 2 E L A B 1 2

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