Revisão. Para o arranjo mostrado na Figura P14.60, o plano inclinado e a pequena roldana não têm atrito; a corda suporta o corpo de massa M na base do plano; e a corda tem massa m. O sistema está em equilíbrio, e a parte vertical da corda tem comprimento h. Queremos estudar as ondas estacionárias estabelecidas na seção vertical da corda. (a) Que modelo de análise descreve o corpo de massa M? (b) Que modelo de análise descreve as ondas na parte vertical da corda? (c) Encontre a tensão na corda. (d) Modele o formato da corda como sendo um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Encontre o comprimento total da corda. (e) Encontre a massa por unidade de comprimento da corda. (f) Encontre a velocidade das ondas na corda. (g) Encontre a frequência mais baixa para uma onda estacionária na seção vertical da corda. (h) Avalie esse resultado para M = 1,50 kg; m = 0,750 g; h = 0,500 m e u = 30,0°. (i) Encontre o valor numérico para a frequência mais baixa para uma onda estacionária na seção inclinada da corda.

Passo 1

Bora lá galera??

(e) A massa por unidade de comprimento da corda, a chamada densidade de massa linear ( μ ) , pode ser calculada dividindo-se a massa da corda (m) pelo seu comprimento (L), que foi definido no item anterior. A massa por unidade de comprimento da corda é:

μ = m L

μ = m h 1 + s e n θ s e n θ

μ = m ⋅ s e n θ h 1 + s e n θ

Passo 2

  1. A velocidade de uma onda transversal v que viaja em uma corda esticada pode ser dada por uma relação entre a tensão na corda (T) e a sua densidade de massa linear ( μ ) :

v = T μ                       ( 1 )

A velocidade das ondas na corda pode ser calculada partindo da equação (1), considerando a tensão determinada na letra (c) e a densidade de massa linear determinada na letra (e) do exercício, como pode ser observado:

v = T μ      

v = M ⋅ g ⋅ s e n θ m ⋅ s e n θ h 1 + s e n θ

v = M ⋅ g ⋅ s e n θ ⋅ h 1 + s e n θ m ⋅ s e n θ

v = M ⋅ g ⋅ h 1 + s e n θ m

Passo 3

(g) A frequência mais baixa para uma onda estacionaria da corda é quando esta se encontra no modo fundamental, ou seja, a parte vertical da cora de comprimento h vibra com um loop. Sendo assim, temos que a distância entre os nodos (d), neste caso a roldana, é igual ao comprimento h e a metade do comprimento na onda:

d = h = λ 2

λ = 2 h           ( 2 )

A frequência (f) de uma onda é a relação entre a sua velocidade ( v ) e o seu comprimento de onda ( λ ) :

f = v   λ                   ( 3 )

Substituindo a velocidade encontrada na letra (f) e o comprimento de onda determinado anteriormente na equação (3), temos que a frequência mais baixa para uma onda estacionaria na seção vertical da corda é de :

f = v λ    

f = M ⋅ g ⋅ h 1 + s e n θ m 2 h

f = M ⋅ g ⋅ h 1 + s e n θ m ⋅ 4 ⋅ h 2

f = M ⋅ g 1 + s e n θ m ⋅ 4 ⋅ h                 ( 4 )

Passo 4

(h) A frequência mais baixa para uma onda estacionaria na seção vertical da onda determinada na letra (g), equação (4), considerando M = 1,50   k g ,   m = 0,750 g ,   h = 0,500   m ,   θ = 30,0 ° , é dado

f = M ⋅ g 1 + s e n θ m ⋅ 4 ⋅ h

f = 1,5 ⋅ 9,8 ⋅ 1 + s e n 30 4 ⋅ 0,750 ⋅ 10 - 3 ⋅ 0,5

f = 121,24   H z

Passo 5

  1. Para determinarmos a frequência mais baixa para a onda estacionaria no plano inclinado precisamos, primeiro, determinar o comprimento de onda nesta seção. O comprimento de onda é o dobro do comprimento da seção, equação (2).

Sabemos, pela letra (d) do exercício, que o comprimento da corda no plano inclinado é de :

L h i p = h s e n θ

Sendo assim, o comprimento de onda, equação (2), na corda no plano inclinado é

λ = 2 ⋅ h s e n θ

Substituindo o comprimento de onda, determinado anteriormente, e a velocidade das ondas na corda, determinada na letra (e) na equação (3), temos:

f = v λ

f = M ⋅ g ⋅ h 1 + s e n θ m 2 h s e n θ

f = s e n θ M ⋅ g ⋅ h 1 + s e n θ m ⋅ 4 ⋅ h 2

f = s e n θ M ⋅ g 1 + s e n θ m ⋅ 4 ⋅ h                   ( 5 )

Considerando M = 1,50   k g ,   m = 0,750 g ,   h = 0,500   m ,   θ = 30,0 ° , temos que a frequência mais baixa para uma onda estacionária na seção inclinada da corda, equação (5), é de:

f = s e n θ M ⋅ g 1 + s e n θ m ⋅ 4 ⋅ h

f = s e n 30 1,5 ⋅ 9,8 ⋅ 1 + s e n 30 4 ⋅ 0,750 ⋅ 10 - 3 ⋅ 0,5

f = 0,5 22,05 1,5 ⋅ 10 - 3

f = 60,62   H z .

Resposta

Vide o passo a passo.

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