Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 15
Sabemos que é uma autofunção do operador energia total para o problema
Unidimensional de potencial nulo.
A – Mostre que também é uma autofunção do operador momento linear e determine o autovalor do momento associado.
B – Repita para
C – Interprete o significado dos resultados (a) e (b) com relação às medidas do momento linear
D – Sabemos também que e são autofunções do operador energia para o potencial nulo. São elas também autofunções de ?
E – Interprete os resultados de (d)
Passo 1
Fala pessoal, tudo belezinha? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
Para mostrar que a autofunção do operador de energia é também uma autofunção do operador de momento, nós vamos usar justamente o operador de momento, que é dado por:
Portanto, fazendo uma operação para manter a igualdade verdadeira e colocando nessa celeuma toda o , nós temos:
Agora é só substituir, no lugar de teremos :
Podemos substituir alguns termos por uma constante k, com isso, nós vamos ter:
O multiplicador da função é chamado de autovalor. Portanto, esse autovalor está associado ao momentum (que é no caso )
Passo 2
Para a letra b, se a função de onda é , então a autofunção do operador momentum é igual a:
Então, o autovalor associado ao momentum é .
Para a letra c, temos o seguinte: ele pede para analisar as duas questões anteriores, então, na letra a, a onda está se movendo numa direção positiva (eixo positivo), com momento , já no caso da letra b, temos que é uma onda se movendo na direção negativa e com momento .
Passo 3
Para a letra d, se a autofunção da energia é , então a autofunção é dada por:
Com isso, nós temos o seguinte resultado:
Portanto, não é uma autofunção para . Agora vamos analisar para , com isso nós temos que:
Com isso, temos também que a função não é uma autofunção para o momento.
Passo 4
Na letra e, o resultado da letra d nos diz que as funções e não são autofunções do operador momentum, isso acontece uma vez que essas funções são ondas sem um momentum definido.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)