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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 19

Separe a equação de Schroedinger no problema 18, para um potencial independente do tempo, em uma equação de Schroedinger independente do tempo e uma equação para a dependência temporal da função de onda.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A equação de Schroedinger em três dimensões encontrada no problema 18 é

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 + V   Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t

Vamos fazer a separação de variáveis escrevendo

Ψ x , y , z , t = ψ x , y , z   T t

Assim,

∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2   T

∂ Ψ ∂ t = ψ d T d t

Passo 2

Desta forma, a equação fica

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 T + V   ψ   T = i ℏ   ψ d T d t

Dividindo a equação por ψ T :

- ℏ 2 2 m ⋅ 1 ψ ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + V x , y , z = i ℏ ⋅ 1 T d T d t

O lado direito só depende de t , enquanto o lado esquerdo só depende de x , y e z , de modo que a igualdade só faz sentido se ambos os lados forem constantes:

- ℏ 2 2 m ⋅ 1 ψ ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + V x , y , z = E           e         i ℏ ⋅ 1 T d T d t

Assim, a equação independente do tempo é

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + V ψ = E ψ

Já a equação da parte temporal é

d T d t = - i ℏ T

Resposta

Ψ x ,   y , z , t = ψ x ,   y , z   T t

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 + V ψ = E ψ

d T d t = - i ℏ T

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