a) Suponha que a temperatura da superfície do Sol é 5700   K , use a lei de Stefan, (1.2), para determinar a massa de repouso perdida por segundo pelo Sol sob forma de radiação. Considere o diâmetro do Sol como sendo 1,4 ⋅ 10 9   m .

b) Que fração da massa de repouso do Sol é perdida a cada ano sob forma de radiação eletromagnética? Considere a massa de repouso do Sol sendo 2,0 ⋅ 10 30   k g .

Passo 1

O primeiro passo é calcular a radiância total emitida pelo Sol, dada pela lei de Stefan:

R T = σ T 4

Considerando σ = 5,67 ⋅ 10 - 8   W / m 2   K 4 :

R T = 5,67 ⋅ 10 - 8 W m 2   K 4 ⋅ 5700   K 4

Assim,

R T = 5,98 ⋅ 10 7   W / m 2

Passo 2

De posse da radiância, podemos calcular a potência emitida pelo Sol multiplicando a radiância pela área superficial do Sol:

P = R T ⋅ 4 π r 2

Como o diâmetro do Sol é 1,4 ⋅ 10 9   m , temos r = 0,7 ⋅ 10 9   m :

P = 5,98 ⋅ 10 7 ⋅ 4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,7 ⋅ 10 9 2

Portanto,

P = 3,68 ⋅ 10 26   W

Isso significa que o Sol perde 3,68 ⋅ 10 26   J de energia por segundo.

Passo 3

Como converter a energia perdida por segundo em massa? Use a relação

E = m c 2

Portanto,

m = E c 2 = 3,68 ⋅ 10 26 3 ⋅ 10 8 2 = 4,08 ⋅ 10 9   k g

Desta forma, o Sol perde 4,08 ⋅ 10 9   k g (4 trilhões de kilograma) por segundo!

Passo 4

Agora vamos para o item (b). Sabemos que em 1 segundo o Sol perde 4,08 ⋅ 10 9   k g . Assim, em um ano ele perde

4,08 ⋅ 10 9 k g s ⋅ 365   d i a s 1   a n o ⋅ 24   h o r a 1   d i a ⋅ 3600   s 1   h = 1,29 ⋅ 10 17 k g a n o

Daí, é só calcular a fração relativa a massa total do Sol:

f = 1,29 ⋅ 10 17 2,0 ⋅ 10 30 = 6,5 ⋅ 10 - 14

Logo, o Sol perde cerca de 6,5 ⋅ 10 - 12   % de sua massa em um ano. Repare que apesar do Sol perder muita massa (olhe o resultado do item (a)), ele é tão grande que a fracção de massa perdida em um ano é desprezível!

Resposta

Δ m Δ t = 4,08 ⋅ 10 9   k g / s

f = 6,5 ⋅ 10 - 12   %

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