O universo continuará a se expandir para sempre? Para tentar responder a essa pergunta, suponha que a teoria da energia escura esta errada e a velocidade de recessão v de uma galáxia situada a uma distância r da Terra depende apenas da atração gravitacionalda matéria contida em uma esfera de raio r e centro na Terra. Se a massa total no interior da esfera é M , a velocidade de escape v e da esfera é v e = 2 G M / r ( E q .33 - 28 ) (a) Mostre que, para que a expansão não continue indefinidamente, a massa específica médiano interior da esfera deve ser pelo menos igual a ρ = 3 H 2 8 π G (b) Calcule o valor numérico dessa “densidade crítica” e expresse a resposta em átomos de hidrogênio por metro cúbico. As medidas experimentais da densidade média do universo são complicadas pela presença da matéria escura.

a ) ρ ≥ 3 4 π H 2 2 G = 3 H 2 8 π G b ) 5,7 á t o m o s / m 3 á

Enunciado

Letra a)

Usando a lei de Hubble, temos que a velocidade de recessão deve ser menor que a velocidade de escape :

A massa específica é a massa pelo volume , então temos que:

Mas deve ser maior que , então:

Letra b)

Se queremos expressar a densidade em átomos de hidrogênio por metro cúbico, temos que expressar em termos de . E sabemos que é . Então é: