Enunciado
Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 44.4 - Ex. 39
O universo continuará a se expandir para sempre? Para tentar responder a essa pergunta, suponha que a teoria da energia escura esta errada e a velocidade de recessão de uma galáxia situada a uma distância da Terra depende apenas da atração gravitacional
da matéria contida em uma esfera de raio e centro na Terra. Se a massa total no interior da esfera é , a velocidade de escape da esfera é ()
(a) Mostre que, para que a expansão não continue indefinidamente, a massa específica média
no interior da esfera deve ser pelo menos igual a
(b) Calcule o valor numérico dessa “densidade crítica” e expresse a resposta em átomos de hidrogênio por metro cúbico. As medidas experimentais da densidade média do universo são complicadas pela presença da matéria escura.
Passo 1
Letra a)
Usando a lei de Hubble, temos que a velocidade de recessão deve ser menor que a velocidade de escape :
A massa específica é a massa pelo volume , então temos que:
Mas deve ser maior que , então:
Passo 2
Letra b)
Se queremos expressar a densidade em átomos de hidrogênio por metro cúbico, temos que expressar em termos de . E sabemos que é . Então é: