Utilize a equação empírica (15-5), que representa as densidades de carga nucleares observadas, e o parâmetro b indicado em (15-7) para determinar a variação de r que corresponde a uma queda das densidades de carga de 90 % para 10 % de seus valores internos.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Bem, a equação empírica para a densidade nuclear é dada por:

ρ r = ρ 0 1 + e ( r - a ) / b

Aqui, temos as seguintes variáveis.

r   é   a   d i s t â n c i a   p a r a   o   c e n t r o   d o   n ú c l e o  

p 0   é   o   v a l o r   d a   d e n s i d a d e   n o   c e n t r o   d o   n ú c l e o  

a   é   o   r a i o   q u e   a   d e n s i d a d e   é   a   m e t a d e   d e   s e u   v a l o r   a n t e r i o r  

b   é   a   d i s t â n c i a   e m   q u e   s e u   v a l o r   é   c o r t a d o   p e l a   m e t a d e

Dividindo pela densidade ρ ( 0 ) para encontrar a densidade como uma fração do valor anterior, nós temos:

ρ r ρ 0 = 1 1 + e r - a b

Definindo a distância que o ρ é igual a 90 % do valor anterior, e fazendo a substituição, nós temos:

0,90 = 1 1 + e r 1 - a b

Resolvendo o termo exponencial, temos

0,90 1 + e r 1 - a b → 1 + e r 1 - a b = 1 0,90

Com isso, a exponencial tem a seguinte configuração

e ( r 1 - a ) / b = 1 0,90 - 1    

Passo 2

Beleza, temos uma exponencial e conseguimos chegar a um padrão mais simples, agora é só as propriedades das exponenciais e dos logaritmos naturais, com isso, nós temos

ln ⁡ e r 1 - a b = ln ⁡ 1 0,90 - 1

O logaritmo da exponencial é igual ao próprio termo em que a exponencial está sendo elevada, com isso, temos a seguinte configuração para essa conta

r 1 - a b = ln ⁡ 1 0,90 - 1

Resolvendo para r 1 , nós temos:

r 1 - a = b ln ⁡ 1 0,90 - 1

E finalmente, temos o seguinte resultado para r 1

r 1 = a + b ln ⁡ 1 0,90 - 1

Passo 3

O pensamento segue análogo quando se quer encontrar a distância que o ρ é 10%, com isso nós temos:

0,10 = 1 1 + e r 2 - a b

Resolvendo para a exponencial, nós temos:

0,10 1 + e r 2 - a b = 1

Desenvolvendo o termo, temos que

1 + e ( r 2 - a ) / b = 1 0,10 → e r 2 - a b = 1 0,10 - 1

Pegando o logaritmo natural para os dois lados, nós temos

ln ⁡ e r 2 - a b = ln ⁡ 1 0,10 - 1

Com isso, nós temos que r 2 é igual a

r 2 = a + b ln ⁡ 1 0,10 - 1

Passo 4

Agora, nós vamos subtrair r 2 - r 1 para encontrar o alcance dentre as densidades nucleares de 10 % a 90 % do valor interior.

r 2 - r 1 = a + b ln ⁡ 1 0,10 - 1 - a + b ln ⁡ 1 0,90 - 1

Desenvolvendo os termos, nós temos:

r 2 - r 1 = b ln ⁡ 1 0,10 - 1 - ln ⁡ 1 0,90 - 1 → r 2 - r 1 = b ln ⁡ 1 0,10 - 1 1 0,90 - 1

Agora vamos substituir o valor de b por 0,55   F , com isso nós vamos ter

r 2 - r 1 = 0,55   F ln ⁡ 1 0,10 - 1 1 0,90 - 1 = 2,4   F

Resposta

2,4   F

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