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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 48

Verifique a relação vetorial (A x B) - (C x D) = (A · C)(B · D) - (A- D)(B · C). Aplique-a para provar que, para o corpo do Prob. 10.44, v2 = (a> x r)2 = a>2 r2 - (a>. r)2. Escreva, em seguida, sua energia cinética na forma

Note que ela se reduz aos valores dados na Seç. 10.5, para o caso de eixos principais, quando os produtos de inércia são nulos.

Passo 1

E aiii galerinha!! Aqui, precisamos lembrar um pouco das matérias que vimos lá em Geometria Analítica e Álgebra linear hahahaha vamos juntos?

Vamos começar fazendo C x D = E.

( A   x   B ) . ( C   x   D ) = ( A   x   B ) .   E =   B .   ( E   x   A ) =   B . [ ( C   x   D )   x   A ] =   - B . [ A   x   ( C   x   D ) ] =   ( A . D ) . C - ( A . C ) . D

Assim,

( A   x   B ) . ( C   x   D ) =   - B . [ ( A . D ) . C - ( A . C ) . D ] = - ( A . D ) ( B . C ) + ( A . C ) ( B . D ) = ( A . C ) ( B . D ) - ( A . D ) ( B . C )

Passo 2

No Problema 10.44, sabemos que os vetores formam v=w x r, certo? Agora, podemos então realizar as mesmas contas, mas com tais vetores, tendo que:

v . v = v . ( w   x   r ) = ( w   x   r ) . ( w   x   r ) = w ² r ² - ( w . r ) ² ,   l o g o ,   v ² = w ² r ² - ( w . r ) ²

A energia cinética é dada por:

E k = 1 / 2 m * v ² = 1 / 2 m * [ w ² r ² - ( w . r ) ² ]

Além disso,

w ² = w ² x + w ² y + w ² z ;   r ² = x ² + y ² + z ² ,   l o g o ,   ( w . r ) ² = ( x w x + y w y + z w z ) ²

Se substituirmos estes valores na energia cinética, teremos que:

E k = 1 / 2 m * [ w ² r ² - ( w . r ) ² ] = 1 / 2 m * [ ( w ² x + w ² y + w ² z ) . ( x ² + y ² + z ² ) - ( x w x + y w y + z w z ) ² ]

Assim, simplificando estes termos teremos que:

E k = 1 / 2 * m ( w ² x ( y ² + z ² ) + w ² y ( z ² + x ² ) + w z ² ( x ² + y ² ) = 2 w x w y x y - 2 w y w z y z - 2 w Z w x x z

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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