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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 41

Prove que o momento de inércia de um corpo rígido em torno de um eixo que faz os ângulos α ,   β   e   γ com os três eixos principais é

I = I 1 c o s ² α + I 2 c o s ² β + I 3 c o s ² γ

Passo 1

Faala galera!! Aqui, nós teremos que, para simplificar, designamos x, Y e z os eixos principais do corpo rígido e também temos os elementos de massa do corpo rígido que possuem simetria em relação a cada um desses eixos. Pegamos um elemento de massa (dm) no corpo rígido, colocado no ponto das coordenadas P (x, y, z) e assumimos sem remover a generalidade que queremos encontrar o momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo u, e neste momento chamamos de I. Por definição:

I = ∫ d ²   d m  

Sendo que d é a distância do elemento m até o eixo u.

Passo 2

Tendo o vetor unitário u passando pela origem:

0 = c o s   α i + c o s   β j + c o s   γ k

E o vetor posição do ponto P pode ser dado por:

r = x i + y j + z k

Além disso, sabemos que d pode ser escrito como d = | r   ✕   Q |

Desta forma, nós teremos que calcular o determinante da matriz formada pelos três vetores: i,j,k; x,y,z; c o s   α , c o s   β , c o s   γ .

Passo 3

Resolvendo o determinante, encontraremos:

I = c o s ²   α ∫ d ² x d m + c o s ²   β ∫ d ² y d m + c o s ²   γ ∫ d ² z d m

Por definição, as integrais presentes nesta equação representam o aumento da inércia em relação aos eixos x, y e z. Assim, chegamos na equação desejada:

I = I 1 c o s ² α + I 2 c o s ² β + I 3 c o s ² γ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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