Deformação em estruturas hiperestáticas – verificação do diagrama com carregamento externo

Produzido por Pablo Ricardo
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Teoria

Introdução

Suponha que o professor de antemão já forneça pra gente o diagrama da estrutura hiperestática, por exemplo, com o carregamento externo. Com esse diagrama seria possível determinar as deformações da nossa estrutura? Perceba que seria um processo contrário ao que aprendemos.

O que vimos até aqui era a maneira de, a partir das deformações, chegar nos diagramas. Agora o nosso objetivo vai ser aprender como que a partir dos diagramas podemos chegar nas deformações.

Para isso vamos ver que precisamos tomar uma decisão. Essa decisão vai ter duas formas de ser tomada, e vamos ver aqui em baixo como devemos fazer isso.

Caso 1 – carregamento externo na estrutura hiperestática

Como sabemos, sempre que resolvemos uma estrutura hiperestática, nós quebramos ela até termos uma estrutura do tipo isostática. E com isso passamos a ter duas estruturas. E o que fazemos com ela? Vamos fazer um exemplo.

Suponha que queremos saber a deformação vertical no centro da seguinte viga.

Então sabemos que a nossa estrutura hiperestática é.

E como eu disse, toda estrutura hiperestática podemos quebrar vínculos até obtermos a estrutura isostática, que nesse caso podemos ter como exemplo a seguinte estrutura:

E agora como eu disse precisamos fazer uma escolha. Em uma estrutura vamos por o carregamento externo, e vamos ter o seu diagrama. Enquanto que na outra, vamos por o carregamento unitário, na direção e sentido que desejamos saber o deslocamento, e vamos obter também o diagrama.

Como já sabemos, no nosso primeiro caso vamos por o carregamento principal na estrutura hiperestática, tendo assim a seguinte estrutura:

E com isso obtemos o seguinte diagrama de momentos fletores.

Logo, se escolhemos a estrutura hiperestática para receber o carregamento externo, vai ser na estrutura isostática que vamos pôr o carregamento unitário.

E o diagrama será:

E agora você pode se perguntar, e daí que eu tenho os diagramas?

É aqui que iremos usar a nossa formulazinha, relembrando o nosso princípio dos trabalhos virtuais, vamos ter que:

P   ¯ .   δ =   ∫ M .   M 0   ¯ E J   d s +   ∫ N   N 0   ¯ E S   d s +   ∫ x . Q .   Q 0   ¯ G S   d s +   ∫ T   .   T 0   ¯ G J t   d s

Em que:

M ,   N ,   Q   e   T = s ã o   o s   e s f o r ç o s   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o   q u a n d o   e s s e   e s t á   c o m   o   c a r r e g a m e n t o   e x t e r n o  

Que no nosso exemplo será o seguinte diagrama:

Da mesma maneira teremos que:

  M 0   ¯ ,     N 0   ¯ ,   Q 0   ¯   e   T 0   ¯ = s ã o   o s   e s f o r ç o s   n o   s i s t e m a   i s o s t á t i c o   q u a n d o   e s s e   e s t á   c o m   o   c a r r e g a m e n t o   u n i t á r i o  

Que no nosso caso é o seguinte diagrama:

Seguindo os dados do nosso exemplo podemos ver que não vamos analisar cortante, nem normal e nem torsor, então podemos de cara descartar esses termos na nossa fórmula, e sobra apenas:

P   ¯ .   δ =   ∫ M .   M 0   ¯ E J   d s

E como podemos supor E J constante por toda a estrutura, podemos escrever a nossa fórmula como:

P   ¯ .   δ = 1 E J ∫ M .   M 0   ¯   d s

E perceba que nada mais é que combinarmos os nossos diagramas como já fazíamos antes. O jeito mais fácil de fazer essa combinação de diagramas é pelo Método das Tabelas, usando as fórmulas da tabela de Kurt Beyer.

A parada é que na tabela de Kurt Beyer só tem alguns formatos de diagramas e não tem essa parábola deslocada pra cima da viga biengastada (esse deslocamento aparece justamente porque a viga é biengastada, porque se fosse biapoiada, o momento seria nulo nos apoios... mas isso é só uma curiosidade). Nós vamos então decompor o primeiro diagrama em 2 partes: uma parábola e um retângulo.

Agora, em vez de combinar o diagrama da estrutura hiperestática com o da estrutura isostática, vamos combinar as duas partes do primeiro com o segundo. Confuso? Olha esse esquema.

Temos que fazer 2 combinações de diagramas e somar as expressões:

P   ¯ .   δ   .     E J = 1 3   .   L   1 + α β L 2 . M . M ¯ - 1 2   .   L   . M . M ¯

Cuidado com os sinais! A primeira combinação fica positiva porque os 2 diagramas estão pra baixo (se os 2 estiverem pra cima também fica positivo) e a segunda fica negativa, porque um está pra baixo e o outro pra cima.

1   ¯ .   δ   .     E J = 1 3   .   L   1 + L 2   . L 2 L 2 . q L 2 8 . L 4 - 1 2   .   L   . q l 2 12 . L 4  

1 .   δ   .     E J = 5 q L 4 384 - 4 q L 4 384 = q L 4 384

δ = q L 4 384 E J

E assim determinamos o deslocamento no centro da nossa viga a partir dos diagramas, considerando o carregamento principal na estrutura hiperestática:

Caso 2 – carregamento externo na estrutura isostática

Vamos supor exatamente o mesmo exemplo, mas agora vamos trocar a posição dos carregamentos, ou seja, vamos supor o carregamento principal na estrutura isostática, e o carregamento unitário na hiperestática, e vamos ver o que teremos de diagramas:

  • Carregamento externo na estrutura isostática:
  • Que gera o seguinte diagrama:

  • Carregamento unitário na estrutura hiperestática:

Que gera o seguinte diagrama:

É aqui que iremos usar a nossa formulazinha, relembrando o nosso princípio dos trabalhos virtuais, porém tomando cuidado, porque a nossa fórmula sofre uma pequena mudança que será:

P   ¯ .   δ =   ∫ M ¯ . M 0 E J   d s +   ∫ N   . ¯ N 0 E S   d s +   ∫ x . Q ¯ . Q 0 G S   d s +   ∫ T   ¯ . T 0 G J t   d s

Em que:

M 0 ,   N 0 ,   Q 0   e   T 0 = s ã o   o s   e s f o r ç o s   n o   s i s t e m a   i s o s t á t i c o   q u a n d o   e s s e   e s t á   c o m   o   c a r r e g a m e n t o   e x t e r n o  

Que no nosso exemplo será o seguinte diagrama:

Da mesma maneira teremos que:

M ¯ ,   N   ¯ , Q ¯   e   T   ¯ = s ã o   o s   e s f o r ç o s   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o   q u a n d o   e s s e   e s t á   c o m   o   c a r r e g a m e n t o   u n i t á r i o  

Que no nosso caso é o seguinte diagrama:

Seguindo os dados do nosso exemplo podemos ver que não vamos analisar cortante, nem normal e nem torsor, então podemos de cara descartar esses termos na nossa fórmula, e sobra apenas:

P   ¯ .   δ =   ∫ M ¯ . M 0 E J   d s

E como podemos supor E J constante por toda a estrutura, podemos escrever a nossa fórmula como:

P   ¯ .   δ = 1 E J ∫ M ¯ . M 0   d s

E perceba que nada mais é que combinarmos os nossos diagramas como já fazíamos antes.

Do mesmo jeito que aconteceu no caso anterior, o diagrama da viga biengastada está deslocado pra cima. Então vamos decompor esse formato triangular deslocado em um triângulo simples e um retângulo.

Agora vamos combinar essas 2 partes com o diagrama da estrutura isostática. Novamente um termo vai ser positivo e outro negativo.

P   ¯ .   δ   .     E J = 1 3   .   L   1 + α β L 2 . M . M ¯ - 2 3   .   L   . M . M ¯

1   ¯ .   δ   .     E J = 1 3   .   L   1 + L 2   . L 2 L 2 . q L 2 8 . L 4 - 2 3   .   L   . q l 2 8 . L 8  

1 .   δ   .     E J = 5 q L 4 384 - 4 q L 4 384 = q L 4 384

δ = q L 4 384 E J

E perceba que mesmo com o segundo caso chegamos exatamente no mesmo valor de deslocamento vertical. Ou seja, podemos escolher tanto o caso 1, e a fórmula 1, quanto o caso 2 com a fórmula 2 para obtermos os deslocamentos na estrutura hiperestática a partir dos seus diagramas. Agora bora fazer exercício pra deixar tudo isso muito bem encaminhado e assim podermos ficar tranquilo na hora de fazer esse tipo de exercício.

Caso 2 – carregamento externo na estrutura isostática