Deformação em estruturas hiperestáticas – verificação do diagrama com carregamento externo
Teoria
Introdução
Suponha que o professor de antemão já forneça pra gente o diagrama da estrutura hiperestática, por exemplo, com o carregamento externo. Com esse diagrama seria possível determinar as deformações da nossa estrutura? Perceba que seria um processo contrário ao que aprendemos.
O que vimos até aqui era a maneira de, a partir das deformações, chegar nos diagramas. Agora o nosso objetivo vai ser aprender como que a partir dos diagramas podemos chegar nas deformações.
Para isso vamos ver que precisamos tomar uma decisão. Essa decisão vai ter duas formas de ser tomada, e vamos ver aqui em baixo como devemos fazer isso.
Caso 1 – carregamento externo na estrutura hiperestática
Como sabemos, sempre que resolvemos uma estrutura hiperestática, nós quebramos ela até termos uma estrutura do tipo isostática. E com isso passamos a ter duas estruturas. E o que fazemos com ela? Vamos fazer um exemplo.
Suponha que queremos saber a deformação vertical no centro da seguinte viga.
Então sabemos que a nossa estrutura hiperestática é.
E como eu disse, toda estrutura hiperestática podemos quebrar vínculos até obtermos a estrutura isostática, que nesse caso podemos ter como exemplo a seguinte estrutura:
E agora como eu disse precisamos fazer uma escolha. Em uma estrutura vamos por o carregamento externo, e vamos ter o seu diagrama. Enquanto que na outra, vamos por o carregamento unitário, na direção e sentido que desejamos saber o deslocamento, e vamos obter também o diagrama.
Como já sabemos, no nosso primeiro caso vamos por o carregamento principal na estrutura hiperestática, tendo assim a seguinte estrutura:
E com isso obtemos o seguinte diagrama de momentos fletores.
Logo, se escolhemos a estrutura hiperestática para receber o carregamento externo, vai ser na estrutura isostática que vamos pôr o carregamento unitário.
E o diagrama será:
E agora você pode se perguntar, e daí que eu tenho os diagramas?
É aqui que iremos usar a nossa formulazinha, relembrando o nosso princípio dos trabalhos virtuais, vamos ter que:
Em que:
Que no nosso exemplo será o seguinte diagrama:
Da mesma maneira teremos que:
Que no nosso caso é o seguinte diagrama:
Seguindo os dados do nosso exemplo podemos ver que não vamos analisar cortante, nem normal e nem torsor, então podemos de cara descartar esses termos na nossa fórmula, e sobra apenas:
E como podemos supor constante por toda a estrutura, podemos escrever a nossa fórmula como:
E perceba que nada mais é que combinarmos os nossos diagramas como já fazíamos antes. O jeito mais fácil de fazer essa combinação de diagramas é pelo Método das Tabelas, usando as fórmulas da tabela de Kurt Beyer.
A parada é que na tabela de Kurt Beyer só tem alguns formatos de diagramas e não tem essa parábola deslocada pra cima da viga biengastada (esse deslocamento aparece justamente porque a viga é biengastada, porque se fosse biapoiada, o momento seria nulo nos apoios... mas isso é só uma curiosidade). Nós vamos então decompor o primeiro diagrama em 2 partes: uma parábola e um retângulo.
Agora, em vez de combinar o diagrama da estrutura hiperestática com o da estrutura isostática, vamos combinar as duas partes do primeiro com o segundo. Confuso? Olha esse esquema.
Temos que fazer 2 combinações de diagramas e somar as expressões:
Cuidado com os sinais! A primeira combinação fica positiva porque os 2 diagramas estão pra baixo (se os 2 estiverem pra cima também fica positivo) e a segunda fica negativa, porque um está pra baixo e o outro pra cima.
E assim determinamos o deslocamento no centro da nossa viga a partir dos diagramas, considerando o carregamento principal na estrutura hiperestática:
Caso 2 – carregamento externo na estrutura isostática
Vamos supor exatamente o mesmo exemplo, mas agora vamos trocar a posição dos carregamentos, ou seja, vamos supor o carregamento principal na estrutura isostática, e o carregamento unitário na hiperestática, e vamos ver o que teremos de diagramas:
- Carregamento externo na estrutura isostática:
- Carregamento unitário na estrutura hiperestática:
Que gera o seguinte diagrama:
Que gera o seguinte diagrama:
É aqui que iremos usar a nossa formulazinha, relembrando o nosso princípio dos trabalhos virtuais, porém tomando cuidado, porque a nossa fórmula sofre uma pequena mudança que será:
Em que:
Que no nosso exemplo será o seguinte diagrama:
Da mesma maneira teremos que:
Que no nosso caso é o seguinte diagrama:
Seguindo os dados do nosso exemplo podemos ver que não vamos analisar cortante, nem normal e nem torsor, então podemos de cara descartar esses termos na nossa fórmula, e sobra apenas:
E como podemos supor constante por toda a estrutura, podemos escrever a nossa fórmula como:
E perceba que nada mais é que combinarmos os nossos diagramas como já fazíamos antes.
Do mesmo jeito que aconteceu no caso anterior, o diagrama da viga biengastada está deslocado pra cima. Então vamos decompor esse formato triangular deslocado em um triângulo simples e um retângulo.
Agora vamos combinar essas 2 partes com o diagrama da estrutura isostática. Novamente um termo vai ser positivo e outro negativo.
E perceba que mesmo com o segundo caso chegamos exatamente no mesmo valor de deslocamento vertical. Ou seja, podemos escolher tanto o caso 1, e a fórmula 1, quanto o caso 2 com a fórmula 2 para obtermos os deslocamentos na estrutura hiperestática a partir dos seus diagramas. Agora bora fazer exercício pra deixar tudo isso muito bem encaminhado e assim podermos ficar tranquilo na hora de fazer esse tipo de exercício.
Caso 2 – carregamento externo na estrutura isostática
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Para a viga abaixo, submetida ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de momentos fletores, determine o deslocamento vertical do ponto central.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, e usar a seguinte fórmula:
Já sabemos que como só temos momentos fletores, podemos ficar com apenas a integral de momentos fletores
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar o vínculo de momentos do apoio A. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto central obtemos que:
E agora precisamos combinar os dois diagramas para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação.
Aqui nós precisamos utilizar a tabela:
Dessa forma vamos obter:
Substituindo na equação vamos ter que:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Para o pórtico abaixo, submetido ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de esforços normais, determine o deslocamento vertical do ponto de aplicação da força de . Dica: Não existem momentos fletores nesta estrutura.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores e de normais foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, assim como de cargas normais, e usar a seguinte fórmula:
Como para esse problema não há momento fletor e nos foi dado o diagrama de esforços normais devemos apenas o diagrama da normal.
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar os vínculos. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto que queremos saber o deslocamento (ponto de aplicação da força) obtemos que:
E agora precisamos combinar os dois diagramas da normal para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação para o normal.
Aqui vamos ter a combinação de dois retângulos que é dada por:
Substituindo na equação vamos ter que:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Origem do Exercício
Para o pórtico abaixo, submetida ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de momentos fletores, determine o deslocamento vertical do ponto C.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores e de normais foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, assim como de cargas normais, e usar a seguinte fórmula:
Como nós foi dado o diagrama de momentos e normais devemos usar os dois.
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar o vínculo horizontal em E. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto B obtemos que:
E agora precisamos combinar os dois diagramas para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação para momentos fletores.
Perceba que a combinação das barras verticais vai ser zero, porém as combinações dos diagramas horizontais podem se separadas em um diagrama retangular e um triangular da seguinte maneira:
Agora fazendo as combinações vamos ter que:
Sabemos também que devemos fazer a seguinte combinação para normais:
Agora fazendo as combinações vamos ter que ambos os casos são combinações de diagramas retangulares, sendo assim nossa combinação será:
Substituindo na equação vamos ter que:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Origem do Exercício
Para a viga abaixo, submetida ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de momentos fletores, determine o deslocamento vertical do ponto B.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, e usar a seguinte fórmula:
Já sabemos que como só temos momentos fletores, podemos ficar com apenas a integral de momentos fletores
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar o vínculo de momentos do apoio A. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto B obtemos que:
E agora precisamos combinar os dois diagramas para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação.
Porém sabemos também que devemos separar o nosso diagrama parabólico em um triangulo e uma parábola.
Agora fazendo as combinações vamos ter que:
Substituindo na equação vamos ter que:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
Para o pórtico abaixo, submetido ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de esforços normais e momento fletor, determine o deslocamento vertical do ponto central da barra superior.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores e de normais foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, assim como de cargas normais, e usar a seguinte fórmula:
Como nós foi dado o diagrama de momentos e normais devemos usar os dois.
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar os vínculos. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto que queremos saber o deslocamento (ponto de aplicação da força) obtemos que:
Que nos fornece os seguintes diagramas:
E agora precisamos combinar os dois diagramas da normal para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação para o normal.
Aqui vamos ter duas combinações de dois retângulos que é dada por:
Para o momento fletor:
Perceba que aqui não precisamos nem nos preocupar com as barras verticais já que para elas é nulo, anulando toda a combinação. Desta forma vamos olhar apenas para a barra superior.
Além disso é importante notar que precisamos considerar o momento como um triângulo + um retângulo:
Aplicando as combinações nós vamos ter:
Substituindo:
Somando tudo
Resposta
Exercício Resolvido #6
Origem do Exercício
Para a viga abaixo, submetida ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de momentos fletores, determine o deslocamento vertical do ponto B.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, e usar a seguinte fórmula:
Já sabemos que como só temos momentos fletores, podemos ficar com apenas a integral de momentos fletores
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar o vínculo de momentos tanto do apoio A quanto do apoio B, e ainda no ponto B podemos quebrar um dos vínculos de força, nesse caso vou quebrar o horizontal. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto B obtemos que:
E agora precisamos combinar os dois diagramas para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação.
Porém sabemos também que devemos separar o nosso diagrama parabólico em um retângulo e uma parábola.
Agora fazendo as combinações vamos ter que:
Substituindo na equação vamos ter que:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Origem do Exercício
Para a viga abaixo, submetida ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de momentos fletores, determine o deslocamento vertical do ponto B.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, e usar a seguinte fórmula:
Já sabemos que como só temos momentos fletores, podemos ficar com apenas a integral de momentos fletores
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar o vínculo de momentos tanto do apoio A quanto do apoio B, e ainda no ponto B podemos quebrar um dos vínculos de força, nesse caso vou quebrar o horizontal. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário vertical na nossa viga no ponto B obtemos que:
E agora precisamos combinar os dois diagramas para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação.
Porém sabemos também que devemos separar o nosso diagrama semi-parabólico em um retângulo e uma parábola. Mas perceba que vamos ter que tomar um cuidado dobrado, porque a presença da carga concentrada no meio do nosso vão faz com que tenhamos uma parábola com um triangulo em cada metade da nossa viga, mas vamos por partes, primeiro separando a parábola do retângulo teremos:
Perceba que em cada metade de viga temos uma parábola inteira, que está deslocada pelo triangulo retângulo interno a ela, o que podemos fazer é novamente separar as duas estruturas, conforme a figura abaixo:
Com todas as divisões feitas precisamos agora apenas combinar os diagramas:
Substituindo na equação vamos ter que:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Origem do Exercício
Para o portico abaixo, submetida ao carregamento mostrado, e com o seguinte diagrama de momentos fletores, determine o deslocamento horizontal do ponto B.
Passo 1
Se olharmos bem, podemos ver que o que de fato aconteceu foi que o diagrama de momentos fletores foi calculado na estrutura hiperestática, o que significa que estamos no caso 1 da nossa teoria, o que significa que devemos obrigatoriamente por a nossa carga unitária no sistema isostático, determinar o diagrama de momentos dessa carga, e usar a seguinte fórmula:
Já sabemos que como só temos momentos fletores, podemos ficar com apenas a integral de momentos fletores
e se tirarmos a parte constante da integral vamos ter que:
e sabemos que com essa integral basta que façamos apenas a combinação dos diagramas. Sendo assim vamos a segunda parte do problema.
Passo 2
Antes de tudo precisamos ter uma estrutura isostática, e para isso podemos quebrar o vínculo de momentos tanto do apoio D. Sendo assim a nossa estrutura isostática será:
Aplicando um carregamento unitário horizontal na nossa viga no ponto B obtemos que:
E agora precisamos combinar os dois diagramas para obtermos a deformação, mas devemos tomar alguns cuidados.
Passo 3
Sabemos que devemos fazer a seguinte combinação.
Perceba que o trecho parabólico da nossa primeira figura pode ser dividido em uma região triangular e uma região parabólica, fazendo isso teremos que:
Com todas as divisões feitas precisamos agora apenas combinar os diagramas:
Substituindo na equação vamos ter que: