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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 10ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 23

23- Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão.

Passo 1

Existe somente reação vertical em E e reações verticais e horizontais em D , fazendo com que a estrutura equivalente seja a retratada abaixo.

Onde separamos apenas as distâncias verticais e horizontais das forças ativas na estrutura (as forças de 5   k N e de 4   k N ) para os apoios.

Fazendo a somatória das forças horizontais temos:

R D x = 0   N

E agora fazendo a somatória dos momentos em D temos:

- 5 × 6 + 3 - 4 × ( 3 + 3 ) + R E y × 3 = 0 → R E y = 23   k N

Logo pela somatória das forças verticais temos:

- 5 - 4 + R E y + R D y = 0

Logo:

R D y = 5 + 4 - 23 = - 14   k N

Isso nos diz que o sentido da força em D está ao contrário da do que foi desenhado na figura.

Passo 2

Agora estamos aptos a analisar os nós, o nó A tem três incógnitas para uma força ativa somente, o nó B a mesma coisa, assim como o nó E , o melhor para começar é o nó D pois só teremos três barras/incógnitas para o nosso problema.

Analisando o nó D .

Onde α vale:

α = tan - 1 ⁡ 5 3 = 59.036 °

Fazendo a somatória das forças verticais no sistema temos:

F D E sin ⁡ α + 14 = 0

F D E = - 14 sin ⁡ 59.036 = 16.33   k N   ( C )

Força compressiva, pois consideramos a força saindo do nó de encontro com a barra.

Agora fazendo a somatória das forças horizontais:

F D C + F D E cos ⁡ α = 0

F D C = - F D E cos ⁡ α = - ( - 16.33 cos ⁡ 59.036 ) = 8.4   k N   ( T )

Passo 3

Agora temos duas incógnitas na junta E e é pra lá que nós vamos:

Onde β pode ser calculado utilizando o triângulo de apoio abaixo:

β = tan - 1 ⁡ 6 2 = 71.565 °

Logo pela somatória das forças horizontais temos:

F E D sin ⁡ 90 - α = F E A sin ⁡ β

F E A = F E D sin ⁡ ( 90 - α ) sin ⁡ β = - 16.33 sin ⁡ 90 - 59.036 sin ⁡ 71.565 = 8.86   k N   ( C )

Agora pela somatória das forças verticais:

F E A cos ⁡ β + F E C + R E y + F E D cos ⁡ ( 90 - α ) = 0

F E C = - F E A cos ⁡ β - R E y - F E D cos ⁡ 90 - α

F E C = - - 8.86 cos ⁡ 71.565 - 23 - ( - 16.33 cos ⁡ 90 - 59.036 )   = - 6.2   k N

Passo 4

Agora vamos para o nó C :

Onde γ vale:

γ = tan - 1 ⁡ 3 3 = 45 °

Pela somatória das forças verticais temos:

F C E + F C F cos ⁡ γ = 0

F C F = - F C E cos ⁡ γ = 6.2 cos ⁡ 45 = 8.77   k N   ( T )

Agora pela somatória das forças horizontais temos:

F C D - F C B - F C F sin ⁡ γ = 0

F C B = F C D - F C F sin ⁡ γ = 8.4 - 8.77 sin ⁡ 45 = 2.2   k N   ( T )

Passo 5

Indo para o nó F teremos:

Fazendo a somatória das forças horizontais temos:

F F A = F F C cos ⁡ γ = 8.77 cos ⁡ 45 = 6.2   k N   ( T )

Agora a somatória das forças verticais:

F F B + F F C sin ⁡ γ = 0

F F B = - F F C sin ⁡ γ = - 8.77 sin ⁡ 45 = 6.2   k N   ( C )

Passo 6

Agora para fechar vamos analisar o nó B .

Analisando o ângulo formado entre F B A e a vertical vemos que o ângulo entre eles é o mesmo que γ que vale 45 ° .

Fazendo a somatória das forças horizontais vemos que:

F B A sin ⁡ γ = F B C

F B A = F B C sin ⁡ γ = 2.2 sin ⁡ 45 = 3.11   k N   ( T )

Com isso encontramos todas as forças mas vamos ver se a somatória das forças na vertical será igual a zero:

- 4 - F B F - F B A cos ⁡ γ = 0

- 4 - - 6.2 - 3.11 cos ⁡ 45 ≈ 0

Logo está certinho.

O mesmo raciocínio pode ser feito para o nó A mas finalizaremos por aqui.

Resposta

F D E = 16.33   k N   ( C )

F D C = 8.4   k N   ( T )

F E A = 8.86   k N   ( C )

F E C = 6.2   k N   ( C )

F C F = 8.77   k N   ( T )

F C B = 2.2   k N   ( T )

F F A = 6.2   k N   ( T )

F F B = 6.2   k N   ( C )

F B A = 3.11   k N   ( T )

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