2.31. Uma plataforma quadrada PQRS e o carro que ela está suportando têm uma massa combinada M. A plataforma é suspensa por quatro cabos elásticos de um ponto fixo O, como indicado na Figura 2.61. A distância vertical entre o ponto de suspensão O e a posição horizontal de equilíbrio da plataforma é h. Se o lado da plataforma for a e a rigidez de cada cabo for k, determine o período de vibração vertical da plataforma.

Passo 1

Para esse problema aqui temos basicamente uma pirâmide de base quadrada:

Essa linha pontilhada é a altura

O O ' = h

A linha vermelha vai ser a metade da diagonal do quadrado de lado a .

P O ' = Q O ' = R O ' = S O ' = a 2

E as diagonais da pirâmide que são as cordas podem ser medidas por Pitágoras

O P = O Q = O R = O S = h 2 + a 2 2

Passo 2

Quando os fios se alongam a gente vai ter uma nova altura para o sistema, essa altura vai ser h somado com o tamanho do esticamento das cordas.

h ' = h + x

Então os fios vão medir o seguinte

O S + x l = h + x 2 + a 2 2

Em que x l é o quanto a corda esticou.

Agora podemos isolar x l

x l = h + x 2 + a 2 2 - O S

Mas nós conhecemos o valor de O S

x l = h + x 2 + a 2 2 - h 2 + a 2 2

Vamos mexer um pouquinho nessa equação. Podemos colocar h 2 + a 2 2 em evidência.

x l = h 2 + a 2 2 ⋅ h + x 2 + a 2 2 h 2 + a 2 2 - 1

Agora vamos desenvolver h + x 2

x l = h 2 + a 2 2 ⋅ h 2 + x 2 + 2 h x + a 2 2 h 2 + a 2 2 - 1

Isso fica

x l = h 2 + a 2 2 ⋅ 1 + x 2 + 2 h x h 2 + a 2 2 - 1

Agora vamos fazer uma aproximação. Assumindo que x é um valor pequeno, podemos desprezar x 2 da equação

x l = h 2 + a 2 2 ⋅ 1 + 2 h x h 2 + a 2 2 - 1

e fazer a seguinte aproximação

1 + α = 1 + α 2

Se considerarmos

α = 2 h x h 2 + a 2 2

x l = h 2 + a 2 2 ⋅ 1 + h x h 2 + a 2 2 - 1

Então

x l = h 2 + a 2 2 ⋅ h x h 2 + a 2 2 = h x h 2 + a 2 2

Chegamos numa expressão para a oscilação da corda.

Passo 3

A equação de movimento é dada por

m x ¨ + k e q   x = 0

Para calcular esse k e q podemos usar a energia potencial do movimento.

E p = 1 2   k e q   x 2

Por outro lado, podemos calcular

E p = 4 ⋅ 1 2   k   x l 2

Assim calculamos separadamente a energia potencial de cada corda e depois somamos.

Substituindo o valor de x l

E p = 2   k   h x h 2 + a 2 2 2 = 2   k   h 2 x 2 h 2 + a 2 2

Então

1 2   k e q   x 2 = 2   k   h 2 x 2 h 2 + a 2 2

Logo

k e q = 4 k h 2 h 2 + a 2 2

A equação de movimento fica assim

m x ¨ + 4 k h 2 h 2 + a 2 2 ⋅ x = 0

Agora podemos enxergar mais facilmente que

ω n = 4 k h 2 h 2 + a 2 2 M

Mas o problema pede o período. Então basta fazer

τ n = 2 π ω n

Substituindo

τ n = 2 π 4 k h 2 h 2 + a 2 2 M

Isso aqui vai dar

τ n = π M h 2 h 2 + a 2 2 k

E terminamos mais um!

Resposta

τ n = π M h 2 h 2 + a 2 2 k

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