53- Determine a intensidade da força F , de modo que a resultante das três forças F R seja a menor possível. Qual é a intensidade mínima de F R ?

Passo 1

Vamos traçar um eixo de coordenadas no ponto onde as forças atuam para poder fazer a somatória das forças nesses eixos.

Passo 2

Fazendo a somatória das forças em y temos:

F y = F c o s   30 - 4   [ k N ]

E a somatória das forças em x :

F x = 5 - F s i n   30   [ k N ]

Isso nos dá uma intensidade de força igual a:

F r = F x 2 + F y 2

F r = F c o s   30 - 4 2 + 5 - F s i n   30 2

F r = F 2 cos 2 ⁡ 30 - 8 F c o s   30 + 16 + 25 - 10 F s i n   30 + F 2 sin 2 ⁡ 30

Arrumando temos:

F r = F 2 - 11.93 F + 41   [ k N ]

Passo 3

A derivada segunda da equação do segundo grau dá um numero positivo, logo essa parábola tem concavidade para cima o que nos dá um ponto de mínimo local e um ponto de mínimo local representa uma força mínima. Logo se fizermos:

d F r d F = 0

Encontraremos essa força mínima.

d F r d F = 2 F - 11.93 2 F 2 - 11.93 F + 41 = 0

Para essa função ser zero o numerador deverá ser zero, logo:

2 F - 11.93 = 0 → F = 5.96   k N

Resposta

F = 5.96   k N

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