Enunciado

65. Determine a força desenvolvida nos cabos O D e O B e necessária na escora O C para suportar a caixa de 50   k g . A mola O A tem comprimento de 0,8   m sem deformação e rigidez k O A = 1,2   k N / m . A força na escora atua ao longo do eixo dela.

Passo 1

Para determinar o que é pedido no enunciado, vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, logo:

∑ F → = 0

Mas para abrirmos essa equação temos que escrever as forças na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

A força peso ( W ) , e a força elástica não iram precisar desse procedimento para serem escritas na forma vetorial, já que elas apontam na mesma direção de um dos eixos coordenados, então:

W → = { 0 i + 0 j - 9,8 ( 50 ) k }

Para escrever a força elástica, lembremos que:

F E = k s

Pro nosso caso temos:

F E = 1,2 1 - 0,8

= 0,24   k N

= 240   N

Então temos que:

F E → = { 0 i - 240 j + 0 k }

Passo 2

Agora vamos achar os vetores unitários para cada força, achamos através da seguinte relação:

u = u → u →

Vamos lá então:

u O B = O B → O B →

= - 2 i - 4 j + 4 k 4 + 16 + 16

= - 2 i - 4 j + 4 k 36

= - 0,333 i - 0,667 j + 0,667 k

u O C = O C → O C →

= - 4 i + 0 j + 3 k 16 + 0 + 9

= - 4 i + 0 j + 3 k 25

= - 0 , 8 i + 0 j + 0 , 6 k

u O D = O D → O D →

= 2 i + 4 j + 4 k 4 + 16 + 16

= 2 i + 4 j + 4 k 36

= 0,333 i + 0,667 j + 0,667 k

Pronto, temos o vetor unitário que precisamos.

Então nossas forças F O B ,   F O C e F O D na forma vetorial são dadas por:

F O B → = F O B { - 0,333 i - 0,667 j + 0,667 k }

F O C → = F O C { - 0,8 i + 0 j + 0,6 k }

F O D → = F O D { 0,333 i + 0,667 j + 0,667 k }

Passo 3

Vamos lá então, vamos expandir essa equação do passo 1 :

∑ F → = 0

0 i + 0 j - 490 k + 0 i - 240 j + 0 k + - 0,333 F O B i - 0,667 F O B j + 0,667 F O B k +

+ - 0,8 F O C i + 0 j + 0,6 F O C k + ( 0,333 F O D i + 0,667 F O D j + 0,667 F O D k ) = 0

⇒ - 0,333 F O B - 0,8 F O C + 0,333 F O D i + - 240 - 0,667 F O B + 0,667 F O D j +

+ - 490 + 0,667 F O B + 0,6 F O C + 0,667 F O D k = 0

Então temos que:

- 0,333 F O B - 0,8 F O C + 0,333 F O D = 0

- 240 - 0,667 F O B + 0,667 F O D = 0

- 490 + 0,667 F O B + 0,6 F O C + 0,667 F O D = 0

Passo 4

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

- 0,333 F O B - 0,8 F O C + 0,333 F O D = 0

- 240 - 0,667 F O B + 0,667 F O D = 0

- 490 + 0,667 F O B + 0,6 F O C + 0,667 F O D = 0

Vamos fazer o seguinte, vamos isolar F O B na primeira equação, substituir na segunda, tendo feito isso vamos encontrar F O C . Vamos então.

F O B = F O D - 2,402 F O C

⇒ - 240 - 0,667 ( F O D - 2,402 F O C ) + 0,667 F O D = 0

⇒ - 240 - 0,667 F O D + 1,602 F O C + 0,667 F O D = 0

⇒ F O C = 149 , 81   N

Agora vamos substituir esse resultado na primeira e na terceira equação e vamos obter um sistema de duas equações da seguinte forma:

- 0,333 F O B - 119,848 + 0,333 F O D = 0

- 490 + 0,667 F O B + 89,886 + 0,667 F O D = 0

Temos:

0,333 F O D - 0,333 F O B = 119,848

0,667 F O D + 0,667 F O B = 4 00,114

Vamos isolar F O D e substituir na segunda equação para acharmos F O B , vamos lá:

F O D = 359,903 + F O B

⇒ 0,667 359,903 + F O B + 0,667 F O B = 400,114

⇒ 240,055 + 0,667 F O B + 0,667 F O B = 400,114

⇒ 1,334 F O B = 160,059

⇒ F O B = 119,98   N

Então já podemos achar F O D com facilidade, logo:

F O D = 359,903 + F O B

⇒ F O D = 359,903 + 119,98

= 479,88   N

Resposta

F O B = 119,98   N

F O C = 149,81   N

F O D = 479,88   N

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