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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 86

Admitindo que o ângulo de fase seja zero, mostre que a resposta x(t) de um sistema subamortecido com um grau de liberdade alcança um valor máximo quando:

sin ⁡ ω d t   = 1 - ζ 2

E um valor mínimo quando

sin ⁡ ω d t   = - 1 - ζ 2

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Como está a família?? Tudo na paz?? Então vamos lá Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos equação de amortecimento e suas relações para cada um dos casos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar qual é a equação do subamortecido, ok?? Então vamos lá...

x t = X   e - ζ ω n t sin ⁡ ω d t

ω d = 1 - ζ 2   ω n

Começando da nossa peça inicial, vamos ter que:

d x d t = X   e - ζ ω n t - ζ ω n sin ⁡ ω d t + ω d cos ⁡ ω d t = 0

Como e - ζ ω n t ≠ 0 , então o outro fator deve ser nulo.

- ζ ω n sin ⁡ ω d t + ω d cos ⁡ ω d t = 0

tan ⁡ ω d t = 1 - ζ 2 ζ

sin ⁡ ω d t =   ± tan ⁡ ω d t 1 + tan 2 ⁡ ω d t =   ±   1 - ζ 2

Então, para os valores de máximo e mínimo, teremos, respectivamente:

sin ⁡ ω d t = 1 - ζ 2 →     cos ⁡ ω d t = ζ

sin ⁡ ω d t = - 1 - ζ 2 →     cos ⁡ ω d t = - ζ

Eaii?? Chegou bem até aqui?? Então bora substituir os valores e continuar nossa conta.

d ² x d t ² = X   e - ζ ω n t ζ ² ω n ² sin ⁡ ω d t - 2 ζ ω n ω d cos ⁡ ω d t - ω d ² s in ⁡ ω d t

Passo 3

Pronto!! Agora vamos jogar tudo lá na nossa formulinha e achar nossos valores!!

Para máximo:

d ² x d t ² = - X   e - ζ ω n t ω n 2 1 - ζ 2 < 0

sin ⁡ ω d t = 1 - ζ 2 → m á x i m o   d e   x ( t )  

Para mínimo:

d ² x d t ² = X   e - ζ ω n t ω n 2 1 - ζ 2 > 0

sin ⁡ ω d t = - 1 - ζ 2 → m í n i m o   d e   x ( t )  

Resposta

sin ⁡ ω d t = 1 - ζ 2 → m á x i m o   d e   x ( t )  

sin ⁡ ω d t = - 1 - ζ 2 → m í n i m o   d e   x ( t )  

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