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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 88

Para a área indicada, determine a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia.

Área do Prob. 9.75.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Analisando o Problema 9.73 para alcançar os seguintes valores correspondentes dos momentos de inércia e produto de inércia para com os novos eixo centroidais obtidos por rotações dos eixo x e y , logo, teremos que:

I - x y = 471040   m m 4

Passo 2

Podemos analisar o problema 9.82 para encontrar:

I - x = 252757   m m 4

I - y = 1752789   m m 4

Passo 3

Agora podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = 2 I - x y I - x - I - y

tan ⁡ 2 θ m = 2 471040 252757 - 1752789

tan ⁡ 2 θ m = 0,62804

2 θ m = 32,13 °

E:

2 θ m = 212,13 °

Logo:

θ m = 16,07 °

E:

θ m = 106,1 °

Passo 4

Portanto, os momentos principais de inércia serão:

I - m á x , m í n = I - x + I - y 2 ± I - x - I - y 2 2 + I - x y 2

I - m á x , m í n = 252757 + 1752789 2 ± 252757 - 1752789 2 2 + 471040 2

Resolvendo, temos que:

I - m á x = 1,888 × 10 6   m m 4

I - m í n = 0,117 × 10 6   m m 4

Por inspeção, o eixo a corresponde ao momento de inércia mínimo e o eixo b corresponde ao momento de inércia máximo.

Resposta

I - m á x = 1,888 × 10 6   m m 4

θ m = 1 06 , 1 °

I - m í n = 0,117 × 10 6   m m 4

θ m = 16,07 °

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