Enunciado

Quando um avião (Figura 6.32a) sofre vibrações simétricas, a fuselagem pode ser idealizada como uma massa central concentrada M 0 , e as asas podem ser modeladas como barras rígidas que suportam massas M em suas extremidades, como mostra a Figura 6.32b. A flexibilidade entre as asas e a fuselagem pode ser representada por duas molas torcionais, cada uma com rigidez k r .

  1. Deduza as equações de movimento do avião utilizando equações de Lagrange com x   e   θ como coordenadas generalizadas.
  2. Determine as frequências naturais e formas modais do avião.
  3. Determine a constante elástica torcional de modo que a frequência natural de vibração, em modo torcional, seja maior do que 2 Hz quando M 0 = 1000 k g ,   M = 500 k g   e   l = 6 m .

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

  1. Inicialmente, vamos definir que nossas coordenadas generalizadas são essas aqui q 1 = x   e   q 2 = θ .
  2. Da fórmula da energia cinética, nós encontramos o seguinte:

    T = 1 2 M 0 x ˙ 2 + 2 1 2 M x ˙ + l θ ˙ 2

    Da fórmula da energia potencial, nós vamos ter:

    V = 2 1 2 k t θ 2

    Dito isso, podemos concluir, usando as equações de Lagrange, que para a primeira coordenada nós temos:

    δ T δ x = 0 ,               δ T δ x ˙ = M 0 x ˙ + 2 M x ˙ + l θ ˙

              δ V δ x = 0

    Já para a segunda coordenada, teremos:

    δ T δ θ = 0 ,               δ T δ θ ˙ = 2 M l x ˙ + l θ ˙

              δ V δ θ = 2   k t   θ ,                 Q 1 = Q 2 = 0

    Por fim, teremos a solução com as equações de Lagrange se tornando:

    M 0 x ¨ + 2 M x ¨ + l θ ¨ = 0

    2 M l x ¨ + l θ ¨ + 2   k t θ = 0

    Passo 2

  3. Galera, uma vez que por definição das oscilações harmônicas, nós temos x t = X cos ⁡ ( ω t + ∅ )     e     θ t = H ^ c o s ⁡ ( ω t + ∅ ) , as equações de movimento vão ser as seguintes:
  4. - M 0 ω 2 - 2 M ω 2 X - 2 M l ω 2   H ^ = 0

    - 2 M l ω 2   X - 2 M l 2 ω 2   ? + 2   k t H ^ = 0

    O que nos leva para a equação de frequência:

    M 0 ω 2 + 2 M ω 2           2 M l ω 2 2 M l ω 2           2 m l 2 ω 2 - 2 k t = 0

    Ou seja:

    ω 2 2 M 0 M l 2 ω 2 - 2 M 0 k t - 4 M k t = 0

    ω 2 = 0 ;           ω 2 = 2 M 0 k t + 4 M k t 2 M 0 M l 2

    Das equações do movimento escritas anteriormente, nós tiramos que:

    H ^ X = 2 M l ω 2 - 2 M l 2 ω 2 + 2 k t

    E quando ω 1 = 0 :

    H ^ X ω 1 = 0 2 k t = 0 →   H ^ = 0

    O que nós encontramos aqui corresponde a translação de corpo rígido na direção x(vertical).

    E quando ω 2 = 0 :

    H ^ X ω 2 = 2 M l 2 M 0 k t + 4 M k t 2 M 0 M   l 2 - 2 M l 2 2 M 0 k t + 4 M k t 2 M 0 M   l 2 + 2 k t = - M 0 2 M l + 1 l

    Passo 3

  5. No terceiro item, nós temos que para ω 2 > 4 π   r a d / s e c ,

2 M 0 k t + 4 M k t 2 M 0 M   l 2 > 16   π 2

Pelos valores propostos, substituindo para M 0 ,   M   e   l , essa inequação se torna o seguinte:

2000 k t + 2000 k t 1 ∙ 10 6 ∙ 36 > 16   π 2

k t > 1,4212 ∙ 10 6   N . m / r a d

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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