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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 42

Use equações de Lagrange para deduzir as equações de movimento de cada um dos sistemas mostrados nas Figuras 6.17 a 6.21.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Inicialmente, se localizem na figura 6.20, a quarta a ser considerada.

Da fórmula da energia cinética, nós encontramos o seguinte:

T = 1 2 J 0 θ 2 ˙ + 1 2 M x 1 2 ˙ + 1 2 3 m   x 2 2 ˙ + 1 2 m   x 3 2 ˙

Da energia potencial, nós temos:

V = 1 2 k x 1 2 + 1 2 2 k x 1 - x 3 - r θ 2 + 1 2 3 k x 3 2

Sabendo que θ = x 2 - x 1 3 r .

Passo 2

Dito isso, já podemos, assim como nas questões anteriores, montar as equações para a primeira coordenada:

δ T δ x 1 ˙ = M x 1 ˙ + J 0 - 1 3 r x 2 ˙ - x 1 ˙ 3 r

d d t δ T δ x 1 ˙ = M x 1 ¨ + J 0 - 1 3 r x 2 ¨ - x 1 ¨ 3 r                  

δ V δ x 1 = k x 1 + 2 k 4 3 4 3 x 1 - 1 3 x 2 - x 3

Para a segunda coordenada:

δ T δ x 2 ˙ = J 0 1 3 r x 2 ˙ - x 1 ˙ 3 r + 3 m x 2 ˙

d d t δ T δ x 2 ˙ = J 0 9 r 2 x 2 ¨ - x 1 ¨ + 3 m x 2 ¨                  

δ V δ x 2 = - 1 3 ( 2 k ) 4 3 x 1 - 1 3 x 2 - x 3

Para a terceira coordenada:

δ T δ x 2 ˙ = m x 3 ˙

d d t δ T δ x 3 ˙ = m x 3 ¨                  

δ V δ x 2 = - 2 k 4 3 x 1 - 1 3 x 2 - x 3 + 3 k x 3

Passo 3

Finalmente podemos montar as equações de movimento a partir das equações de Lagrange:

M + J 0 9 r 2 x 1 ¨ - J 0 9 r 2 x 2 ¨ + 41 9 k x 1 - 8 8 k x 2 - 8 3 k x 3 = F 1 ( t )

- J 0 9 r 2 x 1 ¨ + 3 m + J 0 9 r 2 x 2 ¨ - 8 9 k x 1 + 2 9 k x 2 + 2 3 k x 3 = F 2 ( t )

m x 3 ¨ - 8 3 k x 1 + 2 3 k x 2 + 5 k x 3 = F 3 ( t )

Resposta

M + J 0 9 r 2 x 1 ¨ - J 0 9 r 2 x 2 ¨ + 41 9 k x 1 - 8 8 k x 2 - 8 3 k x 3 = F 1 ( t )

- J 0 9 r 2 x 1 ¨ + 3 m + J 0 9 r 2 x 2 ¨ - 8 9 k x 1 + 2 9 k x 2 + 2 3 k x 3 = F 2 ( t )

m x 3 ¨ - 8 3 k x 1 + 2 3 k x 2 + 5 k x 3 = F 3 ( t )

Ver Outros Exercícios desse livro