48. Se o balde e seu conteúdo têm peso total de 20   l b , determine a força nos cabos de apoio D A ,   D B e D C .

Passo 1

Para determinar o que é pedido no enunciado, vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, logo:

∑ F → = 0

Mas para abrirmos essa equação temos que escrever as forças na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

Mas se reparar na figura, não precisaremos usar esse método com a força F D B e W (força peso do balde), pois essas forças têm suas direções iguais às de um dos eixos coordenados, logo:

F D B → = { 0 i - F D B j + 0 k }

W → = { 0 i + 0 j - 20 k }

Passo 2

Agora vamos achar os vetores unitários para cada força, achamos através da seguinte relação:

u = u → u →

Vamos lá então:

u D A = D A → D A →

= 3 i - 1,5 j + 3 k 9 + 2,25 + 9

= 3 i - 1,5 j + 3 k 20,25

= 0 , 667 i - 0 , 333 j + 0 , 667 k

u D C = D C → D C →

= - 1,5 i + 1 j + 3 k 2,25 + 1 + 9

= - 1,5 i + 1 j + 3 k 12 , 25

= - 0 , 428 i + 0 , 285 j + 0 , 857 k

Pronto, temos o vetor unitário que precisamos.

Então nossas forças F D C e F D A na forma vetorial são dadas por:

F D C → = F D C { - 0,428 i + 0,285 j + 0,857 k }

F D A → = F D A { 0,667 i - 0,333 j + 0,667 k }

Passo 3

Vamos lá então, vamos expandir essa equação do passo 1 :

∑ F → = 0

0 i - F D B j + 0 k + 0 i + 0 j - 20 k + - 0,428 F D C i + 0,285 F D C j + 0,857 F D C k +

+ 0,667 F D A i - 0,333 F D A j + 0,667 F D A k = 0

⇒ - 0,428 F D C + 0,667 F D A i + - F D B + 0,285 F D C - 0,333 F D A j +

+ - 20 + 0,857 F D C + 0,667 F D A k = 0

Então temos que:

- 0,428 F D C + 0,667 F D A = 0

- F D B + 0,285 F D C - 0,333 F D A = 0

- 20 + 0,857 F D C + 0,667 F D A = 0

Passo 4

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

- 0,428 F D C + 0,667 F D A = 0

- F D B + 0,285 F D C - 0,333 F D A = 0

- 20 + 0,857 F D C + 0,667 F D A = 0

Para resolver esse sistema, vamos fazer o seguinte, vamos resolver a primeira e a terceira equação separadamente para acharmos F D C e F D A , tendo isso vamos usá-las para achar F D B com a segunda equação, vamos lá então.

De primeira temos o seguinte:

- 0,428 F D C + 0,667 F D A = 0

- 20 + 0,857 F D C + 0,667 F D A = 0

Vamos isolar F D A na primeira e substituir na segunda equação, achando assim F D C .

F D A = 0,641 F D C

⇒ - 20 + 0,857 F D C + 0,667 ( 0,641 F D C ) = 0

⇒ 0,857 F D C + 0,427 F D C = 20

⇒ 1,284 F D C = 20

⇒ F D C = 15,57   l b

Logo F D A é dado por:

F D A = 0,641 15,57

= 9,98   l b

Passo 5

Agora vamos substituir o que encontramos no passo 4 , na seguinte equação:

- F D B + 0,285 F D C - 0,333 F D A = 0

⇒ - F D B + 0,285 15,57 - 0,333 9,98 = 0

⇒ F D B = 0,285 15,57 - 0,333 9,98

⇒ F D B = 4,43 - 3,32

Então temos que:

F D B = 1,11   l b

Resposta

F D A = 9,98   l b

F D B = 1,11   l b

F D C = 15,57   l b

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