Enunciado

A base de um sistema massa-mola-amortecedor está sujeita a um deslocamento periódico mostrado na Figura 4.32 . Determine a resposta da massa usando o princípio da superposição.

Passo 1

O movimento da base pode ser representado pela série de Fourier como (do Exemplo 1.12):

y ( t ) = Y π π 2 - s i n ⁡ ω t + 1 2 s i n ⁡ 2 ω t + 1 3 s i n ⁡ 3 w t + ⋯ (1)

Equação de movimento da massa

m x ¨ + c ( x ˙ - y ˙ ) + k ( x - y ) = 0 (2)

Como y (t) é composto de vários termos, a solução da Eq. (2) pode ser encontrada superpondo as soluções correspondentes a cada um dos termos que aparecem na Eq. (1). Quando y (t) = Y / 2, constante, a equação do movimento torna-se:

m x ¨ + c x ˙ + k x = k Y 2 =  constant e   (3)

A solução de estado estacionário da Eq. (3) é dado por (ver Exemplo 4.6):

x ( t ) = Y 2 1 - 1 1 - ζ 2 e - ζ ω a t c o s ⁡ ω d t - ϕ (4)

em que   ϕ = t a n - 1 ⁡ S 1 - ζ 2 (5)

Quando y t = A sin ⁡ Ω t ,   a solução de estado estacionário da Eq. (2) é dado pela Eq. (3,67):

x ( t ) = A s i n ⁡ ( Ω t - ϕ ) (6)

Em que A = 1 + ( 2 ς r ) 2 1 - r 2 2 + ( 2 ς r ) 2 1 2 (7)

ϕ = t a n - 1 ⁡ 25 r 3 1 + r 2 4 ζ 2 - 1 (8)

E   r = Ω ω a

Resposta

r = Ω ω a

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