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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 10ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 95

Um binário atua em cada um dos volantes da válvula bidirecional. Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados do momento de binário resultante.

Passo 1

Vamos começar escrevendo cada um dos momentos em forma vetorial, começando pelo momento que age sobre o volante da esquerda.

Nesse caso, temos duas forças de módulo 35   N separadas por uma distância de 2 0,175 = 0,350   m m :

M → 1 = - 35 0,35 i ^ = - 12,25   i ^   N ∙ m

E o sinal negativo aparece porque a rotação acontece no sentido horário.

No caso do volante da esquerda, precisamos primeiro calcular o módulo, já que o vetor terá componentes em x e em y :

M 2 = - 25 0,35 = - 8,75   N ∙ m

M → 2 = - 8,75 cos ⁡ 60 °   i ^ + cos ⁡ 30 °   j ^

M → 2 = - 4,38   i ^ - 7,58   j ^   N ∙ m

E então o momento resultante é:

M → = M → 1 + M → 2

M → = - 12,25   i ^ + - 4,38   i ^ - 7,58   j ^

M → = - 16,63   i ^ - 7,58   j ^   N ∙ m

Passo 2

Agora vamos calcular a intensidade desse vetor:

M = 16,63 2 + 7,58 2 = 18,3   N ∙ m

E para encontrar o ângulo θ que o vetor forma com um eixo i qualquer, só precisamos usar a seguinte fórmula:

cos ⁡ ( θ ) = M i M

Fazendo isso para cada um dos eixos, temos os seguintes resultados:

α = arccos ⁡ M x M = arccos ⁡ - 16,63 18,3   = 155 °

β = arccos ⁡ M y M = arccos ⁡ - 7,58 18,3   = 1 15 °

γ = arccos ⁡ M z M = arccos ⁡ 0 18,3   = 90 °

Onde α , β e γ são os ângulos formados pelo vetor com os eixos x , y e z , respectivamente.

Resposta

O momento de binário resultante tem intensidade M = 18,3   N ∙ m   , e os ângulos diretores são α = 155 ° , β = 115 ° e γ = 90 ° ( x , y e z , respectivamente).

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